Geradenschar |
| 24.11.2013, 20:21 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Geradenschar ich muss ein bisschen dasd thema linerare Algebra und analytische Geometrie nacharbeiten und bin auf diese aufgabe gestoßen: Gegeben sind die Geraden ga:x=(2/7/3)+t*(4+2a/-1+5a/1+3a) mit a für alle reelen Zahlen und die Ebene E, die durch die Punkte P (1/0/2), Q(2/0/3) und R(0/2/2) festgelegt wird. Die Schnittpunkte Sa dieser Geraden mit der Ebene E bilden eine Gerade h (Fig.3). a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h. Das Lösungsweg ist mir nach meinen alten Unterlagen bekannt mit t=7/(-5-3a) und dann in ga einsetzen, nur wieso ist mir nicht mehr bewusst. Wenn ich das mache bekomme ich einen Punkt raus und zwar den wo sich ga und e in abhängigkeit von a schneiden. Will die Aufgabe jetzt dass ich irgendeine Gerade rausfinde? Dann kann ich ja 2 verschiedene a einsetzen und mir eine basteln oder muss ich eine geradengleichung in abhängigkeit von a aufstellen? Wenn ja wie soll das denn gehen weil ich habe ja nur einen Punkt und zwar den durchstoßpunkt von ga und e und dabei brauche ich ja 2 für eine neue Gerade h? MfG |
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| 25.11.2013, 00:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Weg mit den 2 Punktion setzt allerdings voraus, dass von Vornherein bekannt ist, dass alle Schnittpunkte auf einer Geraden liegen, was ja nicht unbedingt zutreffen muss. Und nach meiner Überprüfung (dein t habe ich übrigens auch) ist das offensichtlich nicht der Fall, denn eine Gerade müsste eine von a unabhängige Gleichung haben. Auch die Tatsache, dass sich a im Nenner des Parameters befindet, zeigt, dass keine Linearität vorliegen kann. mY+ |
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| 25.11.2013, 06:05 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm und wie sieht dann jetzt der Lösungsweg aus? Weil das mit den zwei werten von a wäre mein einziger ansatz... |
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| 25.11.2013, 13:56 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein interessanter Fall. Die nochmalige Überprüfung mit 1.) a = 0 , 2.) a = 1 und 3.) a = 2 ergibt tatsächlich zwei linear abhängige Richtungsvektoren, welche Vielfache von (-1; 14; 6)T sind. Ein weiterer Test mit a = -2 bestätigt diesen. So liegt offensichtlich doch eine Gerade vor und ich habe demnach meinen ersten Post entsprechend zu revidieren. Bewiesen ist dies deswegen aber noch nicht. Daher ist noch eine allgemeine Berechnung anzuschließen ... Ein Tipp dazu: a ist zu eliminieren. Stelle in der Parameterdarstellung des Schnittpunktes alle drei Koordinaten nach a um. Dann setze in dem System der drei Gleichungen jeweils zwei Seiten gleich. Es ergeben sich zwei Gleichungen, in denen die gemischten Glieder* wegfallen, diese Gleichungen somit linear sind und die geometrisch zwei Ebenen darstellen. Die Schnittgerade dieser beiden Ebenen ist die gesuchte Gerade. (*) Das Vorhandensein der gemischten (xy-, yz-) Glieder führte zunächst zu meiner ursprünglichen Annahme, dass keine Linearität gegeben ist. In dem vorliegenden Fall reduzieren sich diese aber. mY+ |
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| 25.11.2013, 14:28 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wie sieht nun der idealisierte Lösungweg aus? Wie erhalte ich nun meine gesuchte Gerade h? Wie beweise ich ihre Existenz? |
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| 25.11.2013, 14:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Anstatt deiner stereotypen "Wie-Fragen" würde ich gerne auch von dir eigene Ideen sehen 
Siehe den obigen editierten Beitrag. mY+ |
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| 27.11.2013, 17:18 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also... t in ga ergibt drei Punkte: Umgeformt indem man den zweiten Summanden mit dem Nenner von t erweitert und zusammenfasst: x1: (18-8a/-5-3a) x2: (-42+14a/-5-3a) x3: (-8+12a/-5-3a) bzw könnte ich ja mit dem Nenner hier noch erweitern und dann habe ich drei Terme, kann ich die nicht aufteilen in Stützvektor und Richtungsvektor in Abh von a und dann habe ich eine neue Gerade? |
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| 28.11.2013, 01:30 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das geht so nicht. t in a ergibt auch nicht drei Punkte, sonderen nur einen, eben den Schnittpunkt. Die Idee, a gleichzeitig als Parameter für die gesuchte Gerade zu betrachten, ist zwar hübsch, sie funktioniert hier aber nicht, weil sich a auch im Nenner befindet und man nicht einfach mit diesem erweitern kann. Erweitern kann man nur mit konstanten Größen, a als Scharparameter verändert sich aber dauernd. Du musst also schon den vorhin beschriebenen Weg gehen, welcher aber nicht allzu schwer ist. Setze in den drei Gleichungen für a jeweils zwei rechte Seiten gleich und du erhältst die Gleichungen der 2 Ebenen, deren Schnitt die gesuchte Gerade g ist. Zur Kontrolle: g: X = (0; - 42; 20) + t (- 1; 14; 6), die Normalvektoren der beiden Ebenen lauten (14; 1; 0) und (0; -6; 14), das alles musst du natürlich selbst berechnen. Letztendlich hast du bei x1 einen Vorzeichenfehler, es ist x1 = (-18-8a)/(-5-3a) mY+ |
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| 28.11.2013, 18:00 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß nicht genau was du für Gleichungen meinst... ich habe erstmal die x1 x2 x3 Koordinaten des schnittpunktes wie du meintest nach a aufgelöst: x1: a=-5t+18/3t+8 x2: a=42-5t/14+3t x3: a=-5t+8/3t+12 Was muss ich nun gleichsetzen? |
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| 28.11.2013, 23:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das habe ich dir schon zwei Mal versucht, dir zu erklären. Vielleicht solltest du genauer lesen.
Also nochmals: Aus den drei Gleichungen, in denen x1, x2, und x3 durch a ausgedrückt ist, berechnet man jeweils a (stellt nach a um). Jetzt hat man drei Gleichungen für a: a = f(x1) a = g(x2) a = h(x3) -------------- --> f(x1) = g(x2) g(x2) = h(x3) Die beiden letztgenannten Gleichungen beinhalten kein a mehr und sind linear, somit stellen sie zwei Ebenen dar. mY+ |
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| 29.11.2013, 22:24 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So den Rechenweg hab ich jetzt verstanden.. danke dafür schonmal! Nur komme ich nicht auf deine Normalvektoren der Ebenen die man schneiden soll, bei mir ist: f(x1)=g(x2) -18+5x1/8-3x1=-42+5x2/-14-3x2 g(x2)=h(x3) -42+5x2/-14-3x2=-8+5x3/-12-3x3 Wo ist mein Rechenfehler? |
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| 30.11.2013, 11:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fehler Nr. 1: Es fehlen Klammern (wenn du schon nicht den Formeleditor verwenden willst) Fehler Nr. 2 Es ist ein Verhängnis, dass du die Antworten nicht ordentlich liest bzw. umsetzst:
Und der Nenner bei f(x1) ist dann auch nicht 8 - 3x1 sondern -8 - 3x1 Dann ändere dort der Einfachheit halber die Vorzeichen alle auf + mY+ |
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| 30.11.2013, 14:33 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kontrollier mal bitte meine Rechnung: Für die x1 Koordinate gilt: Man setze t=7/(-5-3a) in 2+t*(4+2a) ein: 2+((28+14a)/(-5-3a)) Nun erweitert man die 2 mit (-5-3a) damit man den gleichen Nenner hat und die Summanden zusammenziehen kann: 2*(-5-3a)/(-5-3a) + (28+14a)/(-5-3a) -> ((-10-6a)+(28+14a))/(-5-3a) Zusammengefasst: (18+8a)/(-5-3a) -> wo ist nun deine -18? Zitat: Letztendlich hast du bei x1 einen Vorzeichenfehler, es ist x1 = (-18-8a)/(-5-3a) Nach a umgeformt: t= (18+8a)/(-5-3a) -5t-3ta=18+8a -3ta-8a=18+5t a*(-3t-8)=18+5t a=(18+5t)/(-3t-8) Damit (und mit den Koordinaten von x2/x3) erhalte ich nun 2 ebenen, die eine Schnittgerade bilden, welche zu deiner Lösung parallel ist, jedoch nicht identisch... Meine Ebenen: f(x1)=g(x2) : -196x1-14x2=588 oder 14x1+x2=-42 g(x2)=h(x3) : -84x2+196x3=-392 oder -6x2+14x3=-28 Wo ist der letzt kleine Haken? Bzw wie sieht deine Lösung aus (bzw wie kommst du auf deinen Ortsvektor? |
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| 30.11.2013, 15:01 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum vorherigen Beitrag: (18+8a)/(-5-3a) -> wo ist nun deine -18 bzw die -8a? Zitat: Letztendlich hast du bei x1 einen Vorzeichenfehler, es ist x1 = (-18-8a)/(-5-3a) |
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| 30.11.2013, 17:45 | Ck247 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So hat alles am Ende doch noch geklappt, komme nun auch auf deine Lösung, hatte nur einen Fehler bei der Berechnung der Schnittgerade! Ich danke dir vielmals für deine Hilfe und Geduld mit mir
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| 03.12.2013, 21:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun, das ist erfreulich. 
Geduld - allerdings von beiden Seiten - ist eine wichtige Voraussetzung, um letzten Endes doch alles auf die Reihe zu bringen, das hat sich immer wieder bewahrheitet. Und das hast ja auch du bewiesen. Ich war einige Tage unabkömmlich, deshalb die späte Antwort. mY+ |
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