Verteilung, Zufallsvariable

24.11.2013, 20:56

matheuuuuuuu

Verteilung, Zufallsvariable

Meine Frage:
Sei U eine auf dem Intervall (0,1) gleichverteilte Zufallsvariable.
Sei q element (0,1)
Zeige dass die Zufallsvariable V=1+ gaussklammer( log(U)/log(q)) eine geometrische Verteilung mit Parameter 1-q besitzt.
Betrachte die Zähldichte von V.

Meine Ideen:
Habe mir die Zähldichte (Einzelwahrscheinlichkeiten) für Beispielwerte angeschaut, finde aber iwie keinen zusammenhang zur geometrischen verteilung, habe iwie kaum einen ansatz...

25.11.2013, 11:34

RAP

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Grüß Dich,

also erstmal ist mit Gaußklammern hier wohl nur die Aufrundungsfunktion gemeint, nicht die Abrundung, da es sonst nicht passt, denn $\begin{eqnarray*} $P(1+\lceil\frac{ln(U)}{ln(1)}\rceil \leq k)=P(\frac{ln(U)}{ln(q)} \leq k-1)$ \end{eqnarray*}$ ,
aber $\begin{eqnarray*} $P(1+[\frac{ln(U)}{ln(1)} ] \leq k)=P(\frac{ln(U)}{ln(q)} < k-\frac{1}{2})$ \end{eqnarray*}$ und dann funktionierts nicht mehr. Also rechne mit Aufrundungsfunktion, dann folgt: (Beachte, dass $\begin{eqnarray*} $q \in (0,1)$ \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} $ln(q) < 0$ \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} $P(1+\lceil\frac{ln(U)}{ln(1)}\rceil \leq k)=P(\frac{ln(U)}{ln(q)} \leq k-1)= P(ln(U) \geq (k-1)ln(q)) = 1 - P(ln(U) \leq (k-1)ln(q)) = 1- P(e^{ln(U)} \leq e^{(k-1)ln(q)}) = 1- P(U \leq (e^{ln(q)})^{k-1}) = 1 - P(U \leq q^{k-1}) = 1 - \int_{- \infty}^{q^{k-1}} \textbf{1}_{(0,1)}(x)dx = 1 - q^{k-1}$ \end{eqnarray*}$ und damit die Behauptung.

25.11.2013, 13:05

HAL 9000

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Ich bin anderer Meinung: Die Gaußklammer ist hier durchaus als normale Abrundung aufzufassen, das führt auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ geometrisch verteilt (Variante A).

Nimmst du hingegen Aufrundung, dann ist stets $\begin{eqnarray*} V\geq 2 \end{eqnarray*}$ , das passt nicht zur geometrischen Verteilung - und du hast es auch selbst mit deiner (zwar umständlichen, aber vom Ergebnis her) richtigen Rechnung bestätigt:

Zitat:

Original von RAP
$\begin{eqnarray*} $P(1+\lceil\frac{ln(U)}{ln(1)}\rceil \leq k)=P(\frac{ln(U)}{ln(q)} \leq k-1)= P(ln(U) \geq (k-1)ln(q)) = 1 - P(ln(U) \leq (k-1)ln(q)) = 1- P(e^{ln(U)} \leq e^{(k-1)ln(q)}) = 1- P(U \leq (e^{ln(q)})^{k-1}) = 1 - P(U \leq q^{k-1}) = 1 - \int_{- \infty}^{q^{k-1}} \textbf{1}_{(0,1)}(x)dx = 1 - q^{k-1}$ \end{eqnarray*}$ und damit die Behauptung.

Irrtum, das ist nicht die Wahrscheinlichkeit, die bei einer tatsächlichen geometrischen Verteilung da rauskommen muss: Die wäre $\begin{eqnarray*} 1-q^k \end{eqnarray*}$ bei Variante A sowie $\begin{eqnarray*} 1-q^{k+1} \end{eqnarray*}$ bei Variante B (s.o. Link).

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