Tetraeder in einem Würfel |
| 25.11.2013, 12:23 | Wess | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Tetraeder in einem Würfel Ich stecke bei einem Beispiel total fest, weil ich nicht so recht weiß, wie ich das am besten zeigen kann, bzw. wie man auf eine Idee kommt :S Es geht um folgendes: Wahlen Sie 100 Punkte aus einem Wurfel mit Kantenlänge 1 m. Zeigen Sie, dass es darunter 4 Punkte gibt, die einen allgemeinen Tetraeder aufspannen, dessen Volumen höchstens 1/99 m^3 beträgt. Ich habe mir gedacht, ich gehe dabei mit Fallunterscheidung vor: 1.Fall: Es liegen 4 Punkte in einer Ebene => fertig, da der Tetraeder dann die Höhe 0m, also das Volumen 0 m^3 hat. 2.Fall Es liegen keine 4 Punkte in einer Ebene, dann kann ich zumindest immer durch 3 Punkte eine Ebene aufspannen. Und da ist der Punkt, wo ich so gar nicht mehr weiterweiß, Dinge die ich mir ansonsten noch überlegt habe: Es könnte sein, dass ich mit dem Schubfachprinzip irgendwie zeigen kann, dass einer der verbleibenden Punkte so liegt, dass das Volumen gewünscht klein wird? Ansonsten habe ich mir zwar viele Skizzen und Überlegungen gemacht, bin aber zu nix brauchbarem gekommen... Über jegliche Tipps oder Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar!! mfg Wess |
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| 25.11.2013, 14:02 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beweise folgende Hilfsaussage: Ein Tetraeder, dessen vier Eckpunkte in einem Quader liegen, kann als Volumen maximal 1/3 des Quadervolumens haben. Dann folgt die hier zu beweisende Behauptung, indem du deinen Würfel in 33 Quader der Abmessungen 1 x 1 x 1/33 zerteilst, wobei ja in einem dieser Quader laut Schubfachprinzip mindestens vier der 100 Punkte liegen müssen. |
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