Umrechnen nominell in effektiven Zinssatz

25.11.2013, 13:28

Tipso

Umrechnen nominell in effektiven Zinssatz

Hallo,

Zitat:

Ein Kapital K0 wird kontinuierlich so verzinst, dass es pro Jahr effektiv um 17.67% wächst. Berechnen Sie den nominellen Zinssatz (in %).

Die zwei Formeln:

Nominal:

$\begin{eqnarray*} k(t) = k_0(1*tr) \end{eqnarray*}$

Effektiv:

$\begin{eqnarray*} k(t) = k_0 *(1+r)^t \end{eqnarray*}$

Was sind nun die 17.67 %?

Meine Gleichung müsste sein:

$\begin{eqnarray*} (1+tr) = (1+r)^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+12r) = (1+0.1767)^12 \end{eqnarray*}$

Jetzt r ausrechnen verwirrt

25.11.2013, 16:33

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tipso,

bei kontinuierlicher bzw. stetiger Verzinsung würde ich folgende Gleichung aufstellen.

$\begin{eqnarray*} \huge{\text{$ K_0 \cdot e^{ i_{kon}\cdot t}=K_0\cdot (1+i_{diskr})^t $ }} \end{eqnarray*}$

e=euler´sche Zahl
$\begin{eqnarray*} i_{diskr} \end{eqnarray*}$ =Zinssatz bei diskreter Verzinsung
$\begin{eqnarray*} i_{kon} \end{eqnarray*}$ =kontinuierlicher Zinssatz.
Diesen Zinssatz würde ich jetzt auch als den nominellen Zinssatz interpretieren, nachdem gefragt ist.

t=Dauer der Verzinsung

Ich nehme hier den nominellen Zinssatz $\begin{eqnarray*} i_{diskr} \end{eqnarray*}$ die Variable i, da nach dem nominellen Zinssatz gefragt wird. Die Inflation wird ja nicht berücksichtigt.

Ich denke es ist hier nach $\begin{eqnarray*} i_{kon} \end{eqnarray*}$ gefragt.

Auf der rechten Seite kannst du die fehlenden Werte einsetzen. $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ kann, bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} i_{diskr} \end{eqnarray*}$ unberücksichtigt bleiben. Sofern man annimmt, dass $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ größer Null ist, kann man beide Seiten der Gleichung durch $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ teilen.

Letztendlich ist die Frage nicht gut formuliert, da folgende Begriffspaare zusammengehören:

Nominalverzinsung-Effektivverzinsung (Verzinsung nach Abzug aller Kosten)

nominaler Zinssatz i - realer Zinssatz r
Dabei ist $\begin{eqnarray*} 1+i=(1+r)\cdot (1+\pi) \end{eqnarray*}$
für r und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nahe 0 gilt $\begin{eqnarray*} i\approx r +\pi \end{eqnarray*}$

stetig bzw. kontinuierlich-diskret

Grüße.

25.11.2013, 17:23

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

e weil es sich um 365 fache Verzinsung handelt und diese nähert sich der eulerischen Zahl nehme ich an.

$\begin{eqnarray*} e^{i*kon*t} = 17.67 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 17.67 = (1+i)^t \end{eqnarray*}$

i ist gesucht aber was bzw wieviel ist t?

t = 365?

25.11.2013, 18:42

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso
verwirrt

e weil es sich um 365 fache Verzinsung handelt und diese nähert sich der eulerischen Zahl nehme ich an.

Genau, es wird 360 Mal verzinst. Ich nehme trotzdem jetzt 360 Tage, da dies so üblich ist.

Ich hatte noch vergessen, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} i_{disk} \end{eqnarray*}$ um einen relativen Zinssatz handelt. Also den Zinssatz, der diskreter Verzinsung pro Tag verrechnet wird.

$\begin{eqnarray*} \large{\text{$ K_0 \cdot e^{ i_{kon}}\approx K_0\cdot (1+\frac{{0,1767}}{360})^{360} $ }} \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite, im Exponenten kein t hin, da t schon implizit enthalten ist. In meinem letzten Beitrag hatte ich noch t hingeschrieben.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\Large{\text{$ e^{ i_{kon}}\approx (1+\frac{{0,1767}}{360})^{360} $ }} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man approximativ ausrechnen, wie hoch der Zinssatz wäre, wenn man jede Sekunde (eigentlich noch viel häufiger) verzinsen würde.

Also statt $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ einfach = schreiben und $\begin{eqnarray*} i_{kon} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

25.11.2013, 21:44

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erhalte 17.6 %

Ein anderer Lösungsvorschlag war:

e^c = 17.67

e^c = 1 + r
e^c = 1.1767
c*ln(e) = ln(1.1767)
c = 16.3

Warum dies als richtig beachtet wird ist mir nicht bekannt.

25.11.2013, 22:03

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Der andere Lösungsvorschlag macht dann mehr Sinn, wenn man annimmt, dass tatsächlich stetig verzinst worden ist und man am Ende der Periode (z.B. Jahr) eine Verzinsung von 17,67% erhält.
Man geht hier also nicht den Umweg über die Tagesverzinsung, sondern eine tatsächliche stetige Verzinsung.
Rechnerisch habe ich bei beiden Herangehensweisen das gleiche Ergebnis.

Deine dritte Gleichung, ist im Gegensatz zur ersten Gleichung, richtig.

25.11.2013, 22:44

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erhalte hier:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\Large{\text{$ e^{ i_{kon}}\approx (1+\frac{{0,1767}}{360})^{360} $ }} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i_{kon} = ln(1.193221328976) = 0.176656649 \end{eqnarray*}$

Hammer

26.11.2013, 15:07

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Erhalte ich auch. Das ist aber nur eine Näherungslösung, da $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ nicht gegen 0 geht. Die Abstände zwischen den Zeitpunkten sind hier 1 Tag.

26.11.2013, 16:51

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir 365 statt 360 Tage genommen hätten, wäre es näher dran an dem exakten Ergebnis, nehme ich an.

Warum die Abstände einen Tag sind und was dies bedeutet ist mir jetzt auf Anhieb nicht so klar.

kontinuierlich bedeutet demnach dauernd, also z.B jede Sekunde .. verwirrt

26.11.2013, 17:41

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso
Wenn wir 365 statt 360 Tage genommen hätten, wäre es näher dran an dem exakten Ergebnis, nehme ich an.

Das nimmst du richtigerweise an. Wobei der Unterschied sehr klein sein dürfte.

Zitat:

Original von Tipso
Warum die Abstände einen Tag sind und was dies bedeutet ist mir jetzt auf Anhieb nicht so klar.

Das war ja meine Idee. Diese war ja letztendlich nicht so gut. Ich habe erst einmal die Zeitabstände verkleinert. Das ist aber nicht hinreichend.

Zitat:

Original von Tipso
kontinuierlich bedeutet demnach dauernd, also z.B jede Sekunde .. verwirrt

Wenn du Sekunden nimmst kommst du dem Zinssatz bei kontinuierlicher Verzinsung noch näher.

Um aber zur exakten Lösung zu kommen, müssen die Zeitabstände ( $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ ) gegen Null gehen. Was das gleiche ist, wie wenn die Anzahl der Zeitintervalle gegen unendlich geht. Dann ist es kontinuierlich.

Die Rechnung dazu hast du ja gepostet:

Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} e^c = 1 + r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^c = 1.1767 \end{eqnarray*}$
c*ln(e) = ln(1.1767)
c=16,27%

Ich habe noch das %-Symbol hinzugefügt und auf zwei Nachkommastellen gerundet.

27.11.2013, 01:03

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

t gegen null ergibt also demnach einfach e.

Dann habe ich es auch komplett verstanden.

Neue Frage »

Antworten »

Umrechnen nominell in effektiven Zinssatz

Verwandte Themen