Vollständige Induktion: Summenformel

25.11.2013, 14:22	Stiefeltasche1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion: Summenformel Meine Frage: \forall n\in \mathbb N :\sum\limits_{j=1}^n j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb N :\sum\limits_{j=1}^n j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe das ganze ausgerechnet aber bei mir kommt bei der Induktionsbehauptung und dem Induktionsschritt nicht dasselbe heraus! Erkennt jemand den Fehler? Ich hoffe so konnte man es lesen, ansonsten: $\begin{eqnarray} Induktionsbehauptung:<br /> <br /> \sum\limits_{k=1}^{n+1} j^2 = \frac{n+1(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6} <br /> = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} <br /> = \frac{(n^2+2n+n+2)(2n+3)}{6} <br /> = \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Induktionsschritt:<br /> <br /> \sum\limits_{k=1}^n j^2 (n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1) <br /> = \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)}{6} <br /> = \frac{n^2 + n(2n+1)6(n+1)}{6} <br /> = \frac{2n^3 + 3n^2+7n+6}{6} \end{eqnarray}$ Edit (mY+): LaTeX berichtigt. Indizes und Hochzahlen in Klammern { .. } setzen!
25.11.2013, 17:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo kommt auf einmal das k im unteren Index her? Bleibe bei dem einmal gewählten Indexnamen (j)! Du brauchst die zu beweisende Formel nicht ausmultiplizieren, das erschwert die Rechnung nur. Dein Induktionsschritt von n --> n+1 ist bei dir falsch bzw. unverständlich. Tatsächlich hast du zu zeigen: $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)(2n+1)} 6 + (n+1)^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)} 6 \end{eqnarray}$ Links wurde zu der n-Formel der (n+1). Summand hinzugefügt und auf der rechten Seite n --> n+1 erhöht! Wenn du dann noch durch (n+1) dividierst, ist der Rest sehr einfach. mY+

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