Achilles und die Schildkröte

25.11.2013, 15:05

qedPiefke

Achilles und die Schildkröte

Meine Frage:
Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit v>0 hat einen Vorsprung s>0 gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit w >v und dem Startpunkt 0).
Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte s_0=s ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle s_1>s_0. Wenn Achilles an der Stelle s_1 ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle s_2 > s_1, u.s.w.

Berechne die Folgenglieder s_n, die zugehörigen Zeitpunkte t_n, sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.

Meine Ideen:
Da ich im ersten Semester bin, frage ich mich, wie ich sowas anstellen soll!
Wie soll ich Folgenglieder berechnen?! Soll ich fiktive Werte (10 m, 100 m) nehmen?! Glaube dass soll man in der Hochschulmathematik nicht mehr machen.
Aber ohne diese Werte kann ich doch nicht Zeitpunkte oder sogar Grenzwert ausrechnen/bestimmen!

Oder bin ich auf dem Holzweg!

25.11.2013, 15:27

schultz

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Achilles und die Schildkröte

Zitat:

Original von qedPiefke
Meine Frage:
Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit v>0 hat einen Vorsprung s>0 gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit w >v und dem Startpunkt 0).
Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen:

da kann irgendwas mit der aufgabenstellung nicht stimmen. wenn achilles schneller ist als die schildkröte, wird er sie irgendwann zwangsläufig einholen

25.11.2013, 15:33

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

da kann irgendwas mit der aufgabenstellung nicht stimmen. wenn achilles schneller ist als die schildkröte, wird er sie irgendwann zwangsläufig einholen

Hier wird nicht ohne Grund jenes berühmte Paradoxon besprochen. Am Ende wird man feststellen warum die Argumentation fehl schlägt. Insbesondere wenn man sich die Folge der Zeiten $\begin{eqnarray*} t_n \end{eqnarray*}$ anschaut.

Zur Aufgabe:

Die Folgenglieder $\begin{eqnarray*} s_n,t_n \end{eqnarray*}$ bestimmen sich aus den Parametern $\begin{eqnarray*} v,w,s_0 \end{eqnarray*}$

Überlege wie lange Achilles braucht, um mit der Geschwindigkeit w von 0 nach $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ zu kommen. Dieser Wert ist dann $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ . Überlege dir nun wie weit die Schildkröte in dieser Zeit kommt. Dieser Wert ist dann $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ . Nun schaust Du wieder wie lange Achilles von $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ braucht und erhältst dein $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt schaust Du wieder auf die Schildkröte, usw... Und hoffentlich ergibt sich dann eine Form die es uns ermöglicht die Folgenglieder für beliebige n darzustellen Augenzwinkern

25.11.2013, 16:33

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

das Nichteinholen können kommt gedanklich her, dass man eine kleine Stoppzeit einbaut.
Und tatsächlich, wenn beide jeweils nur für 1/100 s stoppen würden, dann würden die beiden sozusagen ortsmässig gesehen "einfrieren".

25.11.2013, 18:02

qedPiefke

Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal Danke für die fixe Antwort.

Habe da jetzt dran rumgetüftelt und habe folgende Lösungsansätze:

t_n würde ich so definieren: Sn/w

aber wie ein allgemeines Sn finde wird mir nicht klar!
Die Schildkröte kommt kommt (während Achilles läuft) einfach von S_0 zu S_1

Doch wie soll ich Meterangaben machen mit nur reinen Zeiteinheiten?!

Mir ist das Thema durchaus bekannt. Doch ohne einfach Zahlen einzusetzen fehlen mir noch irgendwie der letzte Denkanstoß !

Lg
Piefke

26.11.2013, 09:48

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

t_n würde ich so definieren: Sn/w

Das ist nicht ganz korrekt. Wir haben die Geschwindigkeiten v,w (m/s) und den Startwert $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ (m).

erstes Folgenglied:

Die Zeit die Achilles für den Weg von 0 nach $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ benötigt ist

$\begin{eqnarray*} t_1 = \frac{s_0}{w} \end{eqnarray*}$

Der Weg den die Schildkröte in dieser Zeit zurücklegt ist

$\begin{eqnarray*} t_1*v = s_0\frac{v}{w} \end{eqnarray*}$ , für den Gesamtweg erhalten wir dann also

$\begin{eqnarray*} s_1 = s_0\frac{v}{w} + s_0 \end{eqnarray*}$

zweites Folgenglied:

Den Weg von Punkt $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ zu Punkt $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ legt Achilles in der Zeit:

$\begin{eqnarray*} t_2 = \frac{s_1 - s_0}{w} = \frac{s_0\frac{v}{w} + s_0 - s_0}{w} = s_0\frac{v}{w^2} \end{eqnarray*}$

zurück. In dieser Zeit legt die Schildkröte

$\begin{eqnarray*} t_2*v = s_0\frac{v^2}{w^2} \end{eqnarray*}$

Meter zurück, was insgesamt

$\begin{eqnarray*} s_2 = t_2*v + s_1 = s_0\frac{v^2}{w^2} + s_0\frac{v}{w} + s_0 \end{eqnarray*}$

bedeutet. Schaue dir jetzt noch $\begin{eqnarray*} t_3,s_3 \end{eqnarray*}$ an und Du erkennst eine Regelmäßigkeit mit der Du die allgemeinen Folgen definieren kannst (im Prinzip sieht man sie jetzt schon).

26.11.2013, 14:56

qedPiefke

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} S_{n}:= S_{0} \sum\limits_{k=0}^n (\frac{v}{w})^{n-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_{n}:= (\frac{v}{w})^{n} \end{eqnarray*}$

Ein weiterer Tipp war dass ich mit der Geometrischen Reihe argumentieren muss!

was ja besagt für alle komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} |Z| \end{eqnarray*}$ <1 konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty z^{k} \end{eqnarray*}$ absolut und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty z^{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$

Doch wie ist mein Ansatz, könntest du/ihr mir dazu noch bitte eine Hilfestellung geben?!

26.11.2013, 15:04

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} S_{n}:= S_{0} \sum\limits_{k=0}^n (\frac{v}{w})^{n-k} \end{eqnarray*}$

ich häts eher so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} s_{n}:= s_{0} \sum\limits_{k=0}^n \left(\frac{v}{w}\right)^{k} \end{eqnarray*}$

und das Ding ist die geometrische Reihe mit nem Vorfaktor Augenzwinkern

(für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

$\begin{eqnarray*} t_{n}:= \left(\frac{v}{w}\right)^{n} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig. Korrekt wäre:

$\begin{eqnarray*} t_{n}:= \frac{s_0}{w}\left(\frac{v}{w}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

.

Jetzt schau Dir die Grenzwerte von den Dingern an.

26.11.2013, 16:35

qedPiefke

Auf diesen Beitrag antworten »

ok! Dann habe ich folgende Überlegung zu $\begin{eqnarray*} S_{n} \end{eqnarray*}$

Für die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{v}{w} \end{eqnarray*}$ < 1 konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} S_{0} \sum\limits_{k=0}^n (\frac{v}{w})^{n} \end{eqnarray*}$ absolut und es gilt:

$\begin{eqnarray*} S_{0} \sum\limits_{k=0}^n (\frac{v}{w})^{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-(\frac{v}{w}) } \end{eqnarray*}$

d.h. der Grenzwert liegt bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-(\frac{v}{w}) } \end{eqnarray*}$ (Da $\begin{eqnarray*} S_{0} \end{eqnarray*}$ ja eine Konstante ist!)

kann ich das noch weiter umformulieren?!

zu $\begin{eqnarray*} T_{n} \end{eqnarray*}$ :

Da bin ich bei dem Grenzwert ein bisschen überfragt! Müsste ja gegen 0 laufen ... aber begründen kann ich das nicht!

Schonmal vielen Dank!

26.11.2013, 16:43

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Für die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{v}{w} \end{eqnarray*}$ < 1 konvergiert die Reihe

Das ergibt so erstmal keinen Sinn, denn Du kannst komplexe Zahlen nicht ordnen. Wenn, dann müsstest Du sagen dass der Betrag des Quotienten kleiner als 1 ist. Aber das ist auch zu viel des Guten. In diesem Fall haben wir Geschwindigkeiten, also positive reelle Zahlen. Sprich, für die reelle Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{v}{w} < 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} s_{0} \sum\limits_{k=0}^n (\frac{v}{w})^{n} = \frac{1}{1-(\frac{v}{w}) } \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} s_{0} \sum\limits_{k=0}^n (\frac{v}{w})^{n} = s_0\frac{1}{1-(\frac{v}{w}) } \end{eqnarray*}$

Du kannst die s_0 nicht so einfach weglassen.

Zitat:

Da bin ich bei dem Grenzwert ein bisschen überfragt! Müsste ja gegen 0 laufen ... aber begründen kann ich das nicht!

Für w > v läuft das Ganze gegen 0. Richtig. Das ist ne klassische Nullfolge die eigentlich bekannt sein sollte?

26.11.2013, 17:19

qedPiefke

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich glaube wir haben es!
Vielen dank!

Ist die Argumentation zur folgender Fragenstellung richtig?
Berechne die Folgenglieder s_n - Habe ich -
die zugehörigen Zeitpunkte t_n - Habe ich -
sowie die jeweiligen Grenzwerte - Habe ich -

Und nun:
Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten:

Reicht es wenn ich so argumentiere:
Da beide Folgen konvergieren, kann ich die Aussage wiederlegen. Achilles wird die Schildkröte irgendwann einholen, da die beiden Folgen nicht gegen divergieren!

Reicht das als Argumentation?! oder was meinst du/ihr was der Prof von mir will?! Augenzwinkern

26.11.2013, 17:28

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht was du ausgerechnet hast aber folgendes kann man sagen:

Aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ folgt, dass der Weg, den die Schildkröte vor Achilles hat, endlich ist. Das bedeutet, dass nach diesem Weg Achilles mindestens auf gleicher Höhe wie die Schildkröte ist

Aus der Konvergenz der $\begin{eqnarray*} t_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 folgt im wesentlichen das selbe. Würde man die Zeiten konstant halten würde Achilles mehr Weg zurück legen als die Schildkröte.

Eigentlich sollte der Grenzwert der $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ mit dem Wert der direkten Berechnung des Treffpunktes übereinstimmen.

26.11.2013, 17:36

qedPiefke

Auf diesen Beitrag antworten »

zur Berechnung des Treffpunktes!

Habe ja eigentlich nichts konkretes berrechnet! ^^ (hoffe du weißt was ich meine)

Grenzwert S_n stimmt! Wenn ich mit konkreten Zahlen rechne, stimmt dies! (das ist der Punkt wo Achilles das Vieh einholt)

Wie soll ich auf allgemeiner Ebene argumentieren?!

26.11.2013, 17:43

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, tust du doch. Du hast für allgemeine v,w und $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ argumentiert.

Neue Frage »

Antworten »

Achilles und die Schildkröte

Verwandte Themen