Unbekannte Verteilung

25.11.2013, 18:21

erdbeermarmelade

Unbekannte Verteilung

Hallo liebes matheboard,
ich bin zufällig letztens auf ein Problem gestoßen, was ich in Form einer Aufgabe zusammengefasst habe: siehe hier
Erstmal die Frage: Gibt es eine Verteilung in der man die 3 Parameter einsetzen kann oder müsste ich mir selber eine herleiten? Wenn ja, ist das machbar oder wird das zu hoch für einen 12.Klässler? Ich frage aus reinem Interesse an dem Thema, da man bei üblichen Schulaufgaben nur mal irgendwo was einsetzen und ggf. mal ne Gleichung umformen muss (Normalverteilung etc.), was mit der Zeit langweilig wird.

Mit freundlichen Grüßen
Erdbeermarmelade

25.11.2013, 18:37

HAL 9000

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Ich sehe als erstes einmal ein gewisses Formulierungsproblem:

Was ist z.B., wenn er eine Tasse 5-mal, eine zweite Tasse 3-mal, eine dritte Tasse 2-mal, und alle anderen Tassen nur einmal oder gar nicht benutzt:

Betrachtest du dann jeweils immer nur das Maximum (hier also 5), oder kann man auch die Frage "genau dreimal" bzw. "genau zweimal" mit Ja beantworten, schlicht weil es für die genannten zweiten und dritten Tassen so zutrifft?

Das bitte erstmal klären, bevor wir irgendwelche Rechnungen anstellen. Augenzwinkern

P.S.: So oder so - Standardverteilungen kannst du hier weitgehend vergessen. Rekursive Wahrscheinlichkeitsdarstellungen sind aber evtl. drin.

25.11.2013, 18:54

erdbeermarmelade

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich sehe als erstes einmal ein gewisses Formulierungsproblem:

Was ist z.B., wenn er eine Tasse 5-mal, eine zweite Tasse 3-mal, eine dritte Tasse 2-mal, und alle anderen Tassen nur einmal oder gar nicht benutzt:

Betrachtest du dann jeweils immer nur das Maximum (hier also 5), oder kann man auch die Frage "genau dreimal" bzw. "genau zweimal" mit Ja beantworten, schlicht weil es für die genannten zweiten und dritten Tassen so zutrifft?

Das bitte erstmal klären, bevor wir irgendwelche Rechnungen anstellen. Augenzwinkern

P.S.: So oder so - Standardverteilungen kannst du hier weitgehend vergessen. Rekursive Wahrscheinlichkeitsdarstellungen sind aber evtl. drin.

Es sollte schon darum gehen, dass irgendeine eine Tasse genau 3-mal (im Beispiel) genutzt wurde, d.h. es ist vollkommen egal, was mit anderen Tassen passiert, es geht darum, wie hoch die Chance ist, dass irgendeine Tasse genau 3 mal genutzt wurde. Also meine Antwort auf die Frage "[K]ann man (...) die Frage "genau dreimal" bzw. "genau zweimal" mit Ja beantworten, schlicht weil es für die genannten zweiten und dritten Tassen so zutrifft?" wäre ein JA.

25.11.2013, 19:05

HAL 9000

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Ok, gehen wir gleich mal in die vollen, Punkt d), in dieser Präzisierung:

Zitat:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Tassen eine Tasse gibt, die an den $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Tagen genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal benutzt wird?

Wir betrachten das günstigerweise auf dem Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ aller möglichen tagesbezogenen Tassenverteilungen, d.h. $\begin{eqnarray*} |\Omega| = m^q \end{eqnarray*}$ .

Mit den Ereignissen

$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... Tasse $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ wird an genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Tagen benutzt

kann man das gesuchte Ereignis als $\begin{eqnarray*} A = \bigcup_{k=1}^m A_k \end{eqnarray*}$ beschreiben, dessen Wkt. suchen wir - ein Paradebeispiel für die Siebformel. Es folgt

$\begin{eqnarray*} P(A) = \sum_{j=1}^{\left\lfloor \frac{q}{n} \right\rfloor} (-1)^{j-1} \binom{m}{j} P\left( \bigcap_{k=1}^j A_k \right) \end{eqnarray*}$

Was beinhaltet Ereignis $\begin{eqnarray*} \bigcap_{k=1}^j A_k \end{eqnarray*}$ ? Jeder der Tassen $\begin{eqnarray*} 1,\ldots,j \end{eqnarray*}$ kommt jeweils genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal vor, an den restlichen $\begin{eqnarray*} q-jn \end{eqnarray*}$ Tagen können beliebige der restlichen $\begin{eqnarray*} m-j \end{eqnarray*}$ Tassen verwendet werden. Es ist dann

$\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap_{k=1}^j A_k \right) = \frac{1}{|\Omega|} \binom{q}{jn} \frac{(jn)!}{n!^j} (m-j)^{q-jn} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. man erhält die Gesamtformel

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{q!}{m^q} \sum_{j=1}^{\left\lfloor \frac{q}{n} \right\rfloor} (-1)^{j-1} \binom{m}{j} \frac{(m-j)^{q-jn}}{(q-jn)! n!^j} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} m=120,q=60,n=3 \end{eqnarray*}$ (also a)) wäre das dann

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{60!}{120^{60}} \sum_{j=1}^{20} (-1)^{j-1} \binom{120}{j} \frac{(120-j)^{60-3j}}{(60-3j)! 6^j} \approx 0.8013 \end{eqnarray*}$ .

25.11.2013, 19:11

erdbeermarmelade

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Also erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich sehe, dass ich das nicht selber hinbekommen hätte, aber wenigstens die Formel für die Verteilung hilft mir weiter Big Laugh

Mit freundlichen Grüßen Augenzwinkern

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