Norm in Hilberträumen

25.11.2013, 19:06

Shalec

Norm in Hilberträumen

Hallo,

ich habe noch kleinere Probleme mir in einem Hilbertraum eine Norm zu definieren.

Also Angenommen wir haben einen Hilbertraum H mit Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} ( \cdot , \cdot ) \end{eqnarray*}$ für die Norm gilt ja: $\begin{eqnarray*} || \cdot ||^2 = ( \cdot , \cdot ) \end{eqnarray*}$

Aber wie sieht es aus, wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} ( e_n , e_m ) \end{eqnarray*}$ betrachte, wie kann ich das als Norm interpretieren?

Im Allgemeinen versuche ich mir gerade eine Lösung für folgende Aufgabe zurechtzulegen:

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_k(t):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikt} \end{eqnarray*}$ bilden ein Orthonormalsystem in $\begin{eqnarray*} L^2((-\pi,\pi)) \end{eqnarray*}$ .

Im Moment denke ich, dass ich $\begin{eqnarray*} (f_k(t), f_m(t)) =\delta_{k,m} \end{eqnarray*}$ überprüfen muss. Aber da ich im $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ nur die Norm
$\begin{eqnarray*} ||x||_{L^2}=\left( \int_A |x|^2 dS(x) \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
kenne, muss ich hiermit arbeiten. Anders wäre es, wenn ich hier wüsste, wie das SP dort definiert ist. (Diesen Teil der VL habe ich wohl überlesen/oder nicht mitbekommen - wenn es überhaupt erwähnt wurde.)

Viele Grüße und vielen Dank

27.11.2013, 01:08

inline_123

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Hallo!

In L2 ist das Skalarprodukt wieder wie die Norm definiert, und zwar per

$\begin{eqnarray*} (f,g)_{L^2} = \int_{-\infty}^{\infty} \! |f(t)*g(t)| \, dt \end{eqnarray*}$

Beachte, dass man eine von beiden Funktionen transponieren muss, falls L2 über C definiert ist und nicht wie hier über R. Soweit ich weiss, ist es Geschmackssache, welche Fkt man transponiert, bei uns im Skript ist es z.B. die erste.

28.11.2013, 12:38

Shalec

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Zitat:

Original von inline_123
Hallo!

In L2 ist das Skalarprodukt wieder wie die Norm definiert, und zwar per

$\begin{eqnarray*} (f,g)_{L^2} = \int_{-\infty}^{\infty} \! |f(t)*g(t)| \, dt \end{eqnarray*}$

Beachte, dass man eine von beiden Funktionen transponieren muss, falls L2 über C definiert ist und nicht wie hier über R. Soweit ich weiss, ist es Geschmackssache, welche Fkt man transponiert, bei uns im Skript ist es z.B. die erste.

Ah, ok.
Danke.

Nutze ich dies, so komme ich allerdings nicht darauf, dass obige Funktion ein orthonormal system ist. Als integral bleibt 1/2Pi fur gleiche funktionen.

Nvm. Hab meinen fehler gefunden.das SP falsch abgeschrieben xD nun passt es. Danke

28.11.2013, 21:48

Che Netzer

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Zitat:

Original von inline_123
In L2 ist das Skalarprodukt wieder wie die Norm definiert, und zwar per

$\begin{eqnarray*} (f,g)_{L^2} = \int_{-\infty}^{\infty} \! |f(t)*g(t)| \, dt \end{eqnarray*}$

Nein, es ist
$\begin{eqnarray*} (f,g)_{L^2}=\int_{-\pi}^\pi f(t)\overline{g(t)}\,\dd t\,. \end{eqnarray*}$
Die Betragsstriche haben darin nichts zu suchen, die Grenzen sind in diesem Fall auch falsch.

Zitat:

Beachte, dass man eine von beiden Funktionen transponieren muss

Konjugieren, nicht transponieren.

Zitat:

falls L2 über C definiert ist und nicht wie hier über R.

Der Definitionsbereich der betrachteten Funktionen ist irrelevant; der ist irgendein Maßraum. Wichtig ist der Bildbereich, der hier durchaus komplex ist.

01.12.2013, 19:54

Shalec

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von inline_123
In L2 ist das Skalarprodukt wieder wie die Norm definiert, und zwar per

$\begin{eqnarray*} (f,g)_{L^2} = \int_{-\infty}^{\infty} \! |f(t)*g(t)| \, dt \end{eqnarray*}$

Zitat:

Beachte, dass man eine von beiden Funktionen transponieren muss

Konjugieren, nicht transponieren.

Zitat:

falls L2 über C definiert ist und nicht wie hier über R.

Der Definitionsbereich der betrachteten Funktionen ist irrelevant; der ist irgendein Maßraum. Wichtig ist der Bildbereich, der hier durchaus komplex ist.

Danke für die Korektur, ich hatte es allerdings so interpretiert und trotz der Betragsstriche ist das gleiche herausgekommen.. zufällig war die Funktion stets Positiv.
Noch kann ich die Betragsstriche entfernen --durch Durchstreichen xD

Ich habe nun auch die Vorlesung durchgelesen - dies war nicht in der VL definiert worden, ist wohl ein triviales "Vorwissen", was allerdings nicht immer gelehrt wird.

(Unsere Analysis Vorlesungen haben z.B. den Hilbertraum ignoriert - kurz erwähnt, dass es diesen gibt. Die lineare Algebra VL hat das Skalarprodukt nicht verwendet / eingeführt. So bleibt noch Numerik, Stochastik und Algebra übrig. Allerdings ist keines davon ein geeigneter Raum für Hilberräume, zumal ich nahezu alles aus der Algebra noch weiß - faktisch)
Aber egal, dafür gibts ja Bücher/Internet Augenzwinkern

Viele Grüße

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