Lebesgue-Messbarkeit bestimmen

25.11.2013, 20:57	Chasu	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue-Messbarkeit bestimmen Meine Frage: Hallo! Könnte mir jemand mit folgender Aufgabe helfen? Frage: Ist die folgende Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R \rightarrow \overline{\mathbb R} \end{eqnarray}$ Lebesgue-messbar? $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases}<br /> sin(\frac{1}{x}), \text{wenn } x \neq 0\\<br /> 0, \text{wenn } x=0<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wie kann ich zuallererst mal erkennen, ob eine Funktion Lebesgue-messbar ist oder nicht? (Meine Vermutung ist: Ja, ist sie). Ich kenne für die Lebesgue-Messbarkeit aber noch nicht viele Kriterien. Oder ist die "allgemeine" Messbarkeit von Funktionen mit der Lebesgue-Messbarkeit gleichzusetzen? Das einzig bekannte Kriterium ist sonst nämlich im Grunde genommen das Carathéodory-Kriterium, aber kann man das hier überhaupt anwenden? Danke sehr.
25.11.2013, 21:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede stückweise stetige Funktion ist Lebesgue-messbar. Und $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ist sowohl auf $\begin{eqnarray} (-\infty,0) \end{eqnarray}$ sowie auch auf $\begin{eqnarray} (0,\infty) \end{eqnarray}$ stetig - das genügt dann für die Messbarkeit von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ .
26.11.2013, 13:23	Chasu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann war mein Gedanke ja schon mal richtig. Allerdings hatten wir diesen Zusammenhang in der Vorlesung noch nicht. Wir haben bisher nur bewiesen, dass stetige Funktionen Lebesgue-messbar sind. Kann ich das vielleicht auf stückweise stetige Funktionen übertragen?
26.11.2013, 14:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar: Du kannst zunächst nachweisen für eine Funktion $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ , die auf einem Intervall $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ definiert und stetig ist, dass $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} g(x) & \;\mbox{für}\,a<x<b \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ messbar ist. Und eine stückweise stetige Funktion ist ja dann nix weiter als eine Summe solcher Funktionen plus evtl. ein paar Indikatorfunktionen $\begin{eqnarray} a_i\cdot 1_{\{x_i\}} \end{eqnarray}$ für die Übergangsstellen zwischen offenen Intervallen. Und dass die Summe messbarer Funktionen messbar ist, dürfte dir ja geläufig sein.
26.11.2013, 19:33	Chasu	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar danke. Dass g auf dem Intervall (a,b) messbar ist, ergibt sich ja dann aus dem Satz, dass stetige Funktionen Lebesgue-messbar sind. Dann bleibt ja nur noch die konstante Funktion 0 zu untersuchen. Allerdings gilt ja, dass konstante Funktionen sowieso messbar sind und somit auch die Zusammenführung der beiden Teilfunktionen. Ist dies dann im Großen und Ganzen schon der Beweis?

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