Vollständigkeit von l^2

26.11.2013, 08:50	Malak	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeit von l^2 Meine Frage: Also l^2 als Folgenraum im Komplexen mit dem üblichen Skalarprodukt (Standarskalarprodukt ins unendliche fortgesetzt). Eigentlich habe ich schon fast alles. Ich habe gezeigt, dass jede Cauchy-Folge (u_n) gegen $\begin{eqnarray} u^i = \lim_{n \to \infty} u_n^i \end{eqnarray}$ konvergiert. Nur, ich muss doch noch zeigen, dass diese Folge tatsächlich in l^2 liegt, oder nicht? Das heißt, die Reihe über die Quadrate der Folgeglieder muss konvergierten. Ich hoffe, das ist jetzt so nicht zu knapp, ich gehe jetzt mal davon aus, dass der l^2 ziemlich bekannt und Standard sein sollte. Falls zu kurz, werde ich das später näher ausführen, habe jetzt kaum Zeit. Interessanter Fakt: In Beweisen, die im Internet finde, ist das ganz genau so, wie ich es gemacht habe, nur wird eben nicht gezeigt, dass der Grenzwert in l^2 liegt. Ist das so trivial? Meine Ideen: Nur eine Idee: Wäre die Funktionenreihe über u_n^i gleichmäßig konvergent, könnte ich den Grenzwert für $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} u_n^i \end{eqnarray}$ rausholen. Über weitere Argumentationen sollte dann folgen, dass die Norm von u^i existiert (also endlich ist). Aber dazu müsste ich zeigen, dass die Reihe gleichmäßig konvergent ist...da komme ich nicht weiter.
26.11.2013, 09:58	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also im Beweis den ich kenne kommt man am Ende auf: $\begin{eqnarray} \\|u^i - u^i_n\\|_2 < \varepsilon \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n > N \end{eqnarray}$ , daraus folgt, dass die Folge $\begin{eqnarray} u^i - u^i_n \end{eqnarray}$ quadratsummierbar ist, und daraus folgt , dass $\begin{eqnarray} u^i = (u^i - u^i_n) + u^i_n \end{eqnarray}$ quadratsummierbar ist, was zu zeigen war.
26.11.2013, 13:29	Malak	Auf diesen Beitrag antworten »
Also doch trivial. Danke. Ja, ich komme auf dasselbe, auf diesen letzten einfachen Schritt bin ich irgendwie nicht gekommen. Also die Vektorraumeigenschaft von l^2 einfach zu nutzen...
26.11.2013, 13:32	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest im letzten Schritt noch mit der Dreiecksungleichung argumentieren ums etwas deutlicher zu machen. Aber mehr ists wirklich nicht

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