Konvergenz einer Folge

26.11.2013, 10:44

Ploki

Konvergenz einer Folge

Meine Frage:
[attach]32214[/attach]

Meine Ideen:
Hallo! Mir fehlt hier leider die Beweisidee.
irgendwie komm ich mit der "epsilon definition" für konvergenz hier nicht weiter. Sandwichkriterium führt bei mir auch zu nichts.

Hat jemand eine Idee?

lg Ploki

26.11.2013, 10:55

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Folge
Na ja, das geht durchaus mit der "Epsilon-Definition". Du mußt ja nur angeben, wie man zu einem beliebigen epsilon > 0 ein geeignetes N_0 findet, so daß $\begin{eqnarray*} |y_n - x| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist. Im Prinzip mußt du dazu ausnutzen, daß bis auf endlich viele Ausnahmen $\begin{eqnarray*} y_n = x_n \end{eqnarray*}$ ist.

26.11.2013, 11:25

Ploki

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Danke für deine schnelle Antwort. Ich habe leider nicht verstanden, wie ich diese Bedingung ausnutzen kann. Ich weiß ja nur, dass die Folge y_n bis auf endliche viele Ausnahmen gegen x konvergiert. Aber wie kann ich das in meiner Abschätzung einbringen?

$\begin{eqnarray*} |n^{2} -n - \sqrt{n} -x| < \epsilon \end{eqnarray*}$

26.11.2013, 11:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ploki
Ich weiß ja nur, dass die Folge y_n bis auf endliche viele Ausnahmen gegen x konvergiert. Aber wie kann ich das in meiner Abschätzung einbringen?

$\begin{eqnarray*} |n^{2} -n - \sqrt{n} -x| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Das ist schon falsch formuliert Das y_n konvergiert ohne wenn und aber. Nur für endlich viele Ausnahmen ist überhaupt die obige Ungleichung relevant, also quasi eigentlich gar nicht zu betrachten. Um die "Nuß" zu knacken, muß man natürlich auch den richtigen Ansatz wählen. Augenzwinkern

Also sei epsilon > 0 beliebig. Da die Folge x_n konvergiert, gibt es ein M, so daß $\begin{eqnarray*} |x_n - x| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist für alle n > M.
Wähle nun N_0 := max(M, N+1) .

Wie sieht nun der Term $\begin{eqnarray*} |y_n - x| \end{eqnarray*}$ für n > N_0 aus?

26.11.2013, 12:14

Ploki

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Also wenn ich das richtig verstehe, müsste jetz für N_0 > n $\begin{align*} |y_{n}-x| = |x_{n}-x| \end{align*}$ sein.

26.11.2013, 12:17

klarsoweit

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Im Prinzip ja, nur warum schreibst du "N_0 > n", während ich "n > N_0" geschrieben hatte? verwirrt