Diffeomorphismen

26.11.2013, 12:25

Xeno1999

Diffeomorphismen

Hallo,

Hab mal ne frage bezüglich der Diffeomorphismen:

Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} U,V\subset \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ offene Mengen. Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: U \to V \end{eqnarray*}$ heißt Diffeomorphismus, falls f stetig differenzierbar, bijektiv und die Umkehabbildung $\begin{eqnarray*} f^{-1}: V \to U \end{eqnarray*}$ ebenfalls stetig differenzierbar ist. Weiterhin bezeichnet

$\begin{eqnarray*} Diff(U) := \left\{ f: U \to U | f \text{ ist ein Diffeomorphismus}\right\} \end{eqnarray*}$

die Menge der selbstabbildenden Diffeomorphismen(d.h. U = V)

1. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} (Diff(U),\circ) \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe bezüglich der Komposition " $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ ". Für f, g bezeichnet $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ die Funktion mit
$\begin{eqnarray*} f\circ g(x) = f(g(x)) \end{eqnarray*}$ .

2. Zeigen Sie: Die affine Transformationen

$\begin{eqnarray*} Aff_{n} := \left\{ \phi: \mathbb R ^{n} \to \mathbb R ^{n} \ \text{mit} \ \phi (x) = Ax+b | A \in \mathbb R ^{nxn} \ \text{ist invertierbar und} \ b \in \mathbb R ^{n}\right\} \end{eqnarray*}$

bilden eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} (Diff(U),\circ) \end{eqnarray*}$ . Ist diese Gruppe abelsch?

So also als Hinweis wir brauchen nicht stetigkeit, differenzierbarkeit extra zu zeigen, ein Verweis auf die Literatur genügt.

Hab aber leider gar kein Plan wie ich vorgehen soll.

26.11.2013, 15:16

Mulder

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RE: Diffeomorphismen

Zitat:

Original von Xeno1999
Hab aber leider gar kein Plan wie ich vorgehen soll.

Hmm, warum nicht?

Du musst bei der 1) zum Beispiel nur die Gruppenaxiome abklappern. Als da wären Assoziativität, Existenz eines neutalen Elementes und Existenz von Inversen. Ferner noch kurz aufzeigen, dass Diff(U) bezüglich der Komposition auch abgeschlossen ist.

Du musst hier nur ein paar Sachen zusammentragen, die du über Funktionen ohnehin schon längst weißt. Zum Beispiel dass die Komposition bijektiver Funktionen natürlich auch wieder bijektiv ist. Oder dass die Komposition von diffbaren Funktionen auch wieder diffbar ist etc.

26.11.2013, 15:22

Xeno1999

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aso muss ich die Gruppenaxiome anhand konkreter Funktionen nachweisen oder reicht ne referenz aus?

26.11.2013, 15:27

Mulder

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Anhand konkreter Beispielfunktionen führt man keine Beweise. Das musst du allgemein machen.

Abgeschlossenheit zum Beispiel: Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ Diffeomorphismen sind, dann ist auch $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus. Begründe kurz, warum das so ist.

Und die Gruppenaxiome klapperst du auf die gleiche Art und Weise ab.

26.11.2013, 16:24

Xeno1999

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Also

i) Die Komposition von Funktionen ist assozaitiv daraus folgt, dass
$\begin{eqnarray*} Diff(U)\circ(f\circ g) = (Diff(U)\circ f)\circ g \end{eqnarray*}$

ii) Es ex ein neutrales Element , müsste ich ja nur ein e mit der kette verbinden oder?

iii) Da f ein inverses Element besitzt ist es auch für die Komposition ?

26.11.2013, 17:58

Mulder

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Zitat:

Original von Xeno1999
i) Die Komposition von Funktionen ist assozaitiv daraus folgt, dass
$\begin{eqnarray*} Diff(U)\circ(f\circ g) = (Diff(U)\circ f)\circ g \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, warum du jetzt die Komposition einer einzelnen Funktion mit einer ganzen Menge da hin schreibst - was darf man sich darunter denn nun vorstellen?

Wenn du bereits weißt, dass die Komposition von Funktionen stets assoziativ ist, schreibst du das kurz hin und fertig.

Zitat:

Original von Xeno1999
ii) Es ex ein neutrales Element , müsste ich ja nur ein e mit der kette verbinden oder?

Wie lautet das neutrale Element denn? Gib diese Funktion ganz konkret an und fertig. Was du mit "mit der kette verbinden" meinst, weiß ich nicht.

Zitat:

Original von Xeno1999
iii) Da f ein inverses Element besitzt ist es auch für die Komposition ?

Das ist kein vollständiger deutscher Satz.

26.11.2013, 18:33

Xeno1999

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Also ich hab mal das ganze jetzt so gelöst:

i) Die Komposition von funktionen ist stets assozaitiv

ii) es ex ein neutrales element die Identität in der Form dass:

$\begin{eqnarray*} (f\circ id_{x})(x) = f(x) = (id_{x}\circ f)(x) \end{eqnarray*}$

iii) zu jeder bijektiven Abb ex eine Umkehrfunktion:

$\begin{eqnarray*} y \to x \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} f(x) = y \Rightarrow \end{eqnarray*}$ wieder eine bijektive Abb.
Es gilt die Beziehung $\begin{eqnarray*} f \circ g = e \end{eqnarray*}$ wobei e das neutrale element darstellt, so ist g das inverse Element zu f.

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