Konvergenz, Leibniz-, Majorantenkriterium, geom. Reihe

26.11.2013, 13:35

NichtSoGut

Konvergenz, Leibniz-, Majorantenkriterium, geom. Reihe

Hallo wenn ich die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^i n(4/5)^n \end{eqnarray*}$
Dann kann ich bei dieser keine geometrische Reihe anwenden oder? Auf Wiki und co finde ich dazu nichts.
Ich habs zwar mal durchgerechnet mit n * 1/1-q aber dann erhalte ich n*5, was wohl nicht passt.
Sprich ich darf die geom. Reihe nur verwenden wenn die Laufvariable, nur in der Hochzahl vorkommt und sonst nicht?

Ich habe es jetzt jedenfalls noch mit Wurzelkriterium und Quotientenkrit durchgerechnet und komme auf absolute Konvergenz.

Dann hätte ich noch:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^i n/(n^3+2n-1) \end{eqnarray*}$
Die habe ich mit Quotientenkrit versucht, was aber auf 1 hinausläuft.
Also habe ich es abgeschätzt mit 1/n^2, was ja konvergent ist und für fast alle n ist der Betrag meiner Folge kleiner als 1/n^2, wodurch auch diese konvergent ist?
Stimmt das?
Mal generell, wie kommt man auf konvergente Majoranten? Im Endeffekt würde ich immer genau 1/n2 nehmen^und gut ist, aber ich sehe so viele Beispiele, bei denen zB nur der Nenner geändert wird.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^i (-1)^n \frac{2+(-1)^n}{n+1} \end{eqnarray*}$

WEnn ich darauf das Leibnitzkriterum anwende.
Kann ich mal sagen, dass dies eine streng mon. fallende Folge ist.
Wenn ich dann noch schaue ob es eine Nullfolge ist, wird in Beispielen immer zb -1^n weggelassen, verstehe aber nicht wieso, gut wenn ich den Betrag bilde, dann wird es sowieso wieder negiert und kann das -1 weglassen, aber was wäre wenn es ein -3^n wäre?
Muss man dann eine Fallunterscheidung für n gerade/ungerade machen?
Und teilweise wird auch -1^n innerhalb des Terms weggelassen, kann ich hier nun auch weglassen, weil im Endeffekt ist es ja innerhalb einer Summe , also eher nicht.
Ahja, komme auf absolute Konvergenz.

26.11.2013, 14:12

Mulder

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RE: Konvergenz, Leibniz-, Majorantenkriterium, geom. Reihe

Zitat:

Original von NichtSoGut
Ich habs zwar mal durchgerechnet mit n * 1/1-q aber dann erhalte ich n*5, was wohl nicht passt.

Das ist leider komplett daneben gegriffen, so kannst du das nicht machen. Die geometrische Reihe ist nach dem Schema x^n aufgebaut. Wenn da noch ein Faktor n davorsteht, hat man gleich eine andere Situation. Quotientenkriterium z.B. ist hier wohl eine gute Wahl.

Die Reihe ist absolut konvergent, ja.

Zitat:

Original von NichtSoGut
Die habe ich mit Quotientenkrit versucht, was aber auf 1 hinausläuft.
Also habe ich es abgeschätzt mit 1/n^2, was ja konvergent ist und für fast alle n ist der Betrag meiner Folge kleiner als 1/n^2, wodurch auch diese konvergent ist?
Stimmt das?

Ja, stimmt.

Zitat:

Original von NichtSoGut
Mal generell, wie kommt man auf konvergente Majoranten?

Übung, Erfahrung, rumprobieren ... überall anwendbare Kochrezepte gibt es nicht.

Zitat:

Original von NichtSoGut
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^i (-1)^n \frac{2+(-1)^n}{n+1} \end{eqnarray*}$
WEnn ich darauf das Leibnitzkriterum anwende.
Kann ich mal sagen, dass dies eine streng mon. fallende Folge ist.

Die Folge ist nicht streng monoton fallend. Die ist überhaupt nicht monoton. Dementsprechend sieht es hier schlecht aus mit Leibniz-Kriterium.

Diese Reihe ist auch nicht konvergent.

Schreib dir mal die ersten Folgenglieder hin und versuche, ein Muster zu entdecken. Du kannst das Teil zerlegen in eine konvergente Teleskopsumme und einen divergenten Rest, woraus insgesamt natürlich Divergenz folgt.

Zitat:

Original von NichtSoGut
Wenn ich dann noch schaue ob es eine Nullfolge ist, wird in Beispielen immer zb -1^n weggelassen, verstehe aber nicht wieso, gut wenn ich den Betrag bilde, dann wird es sowieso wieder negiert und kann das -1 weglassen, aber was wäre wenn es ein -3^n wäre?
Muss man dann eine Fallunterscheidung für n gerade/ungerade machen?
Und teilweise wird auch -1^n innerhalb des Terms weggelassen, kann ich hier nun auch weglassen, weil im Endeffekt ist es ja innerhalb einer Summe , also eher nicht.

Bitte bemüh dich, deine Sätze klar, deutlich und grammatikalisch einigermaßen korrekt zu formulieren. Man weiß großteils gar nicht, was du hier eigentlich meinst oder wissen willst.

26.11.2013, 14:38

HAL 9000

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Ergänzung
@NichtSoGut

Es gibt ein paar einfache Regeln, die zwar nicht unter den "Grundregeln" der Reihenkonvergenz aufgeführt sind, aber einfach daraus folgen - Beispiel:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} \sum_n a_n \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} \sum_n b_n \end{eqnarray*}$ divergent, so ist $\begin{eqnarray*} \sum_n (a_n+b_n) \end{eqnarray*}$ divergent.

Begründung per indirekten Beweis: Angenommen $\begin{eqnarray*} \sum_n (a_n+b_n) \end{eqnarray*}$ ist doch konvergent, dann muss per Konvergenzregel für die Differenz konvergenter Reihen aber auch $\begin{eqnarray*} \sum_n ((a_n+b_n)-a_n) = \sum_n b_n \end{eqnarray*}$ konvergent sein, Widerspruch zur Voraussetzung.

Das kann man etwa im vorliegenden Fall für die Summandenreihen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2}{n+1} \end{eqnarray*}$ (konvergent nach Leibniz) sowie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ (divergent: Harmonische Reihe) anwenden.

Kein Grund jetzt, eine Unmasse solcher Extraregeln zu pauken, aber verkehrt ist es sicher nicht, die eine oder andere im Hinterkopf zu haben - oder zumindest die Prinzipien (siehe den obigen indirekten Beweis), mit denen diese hergeleitet bzw. begründet werden können.

26.11.2013, 22:31

NichtSoGut

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Okay, danke.

Wenn ich die alternierende Reihe ansehe, dann kann ich sie ja in -1^n * (-1^n/(n+1) + 2/(n+1)) zerlegen. Damit sehe ich zumindest mal, dass es eine Nullfolge ist.

Aber ich sehe nicht, wie ich da auf einen divergenten Rest komme.
Das einzige ist, dass 2/n+1 gegen null konvergiert und 1/n+1 ebenfalls. Dann bleibt noch -1^n und -1^n übrig, was aber mit null multipliziert wird und eine Nullfolge ergibt.

Wenn ich Divergenz mit einem VerlgiehchsKriterium beweisen will dann muss ich doch Minorantenkriterium nehmen, richtig? Mit Majoranten geht nur die Konvergenz.

Ich habe es jetzt mit Wurzel, und Quotientenkriterium versucht aber komme auf nichts.

@HAL
Ich verstehe deinen indirekten Beweis nicht.

27.11.2013, 09:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von NichtSoGut
@HAL
Ich verstehe deinen indirekten Beweis nicht.

Ich beantworte solche generellen Ablehnungen nicht. Sag bitte, was daran konkret unverständlich sein soll, ansonsten muss ich dir mangelnde inhaltliche Auseinandersetzung damit unterstellen.

27.11.2013, 18:43

NichtSoGut

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Naja
Ja, ich glaub ich habs schon.

Du sagst im endeffekt ja nur, dass die Addition von einer Konvergenten und Divergenten auf eine konvergente Reihe hinausläuft.
Und wenn du dann die Divergente abziehst, sollte nach der Definition eine Konvergente rauskommen, aber bk ist ja divergent.
Obwohl ich jetzt nicht wirklich weiß worauf du hinaus willst.

Ich habe mir die alternierende Reihe jedenfalls mal so gedacht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^i (-1)^n \frac{2+(-1)^n}{n+1} = \sum\limits_{n=0}^i (-1)^n (\frac{2}{n+1} + \frac{-1^n}{n+1}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich richtig erinnere, dann darf ich die Reihen ja trennen.

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=0}^i (-1)^n \frac{2}{n+1} + \sum\limits_{n=0}^i (-1)^n *\frac{-1^n}{n+1} \end{eqnarray*}$
Ich hoffe mal, dass das korrekt ist.
Dann nehme ich mir mal
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^i (-1)^n * (-1)^n*\frac{1}{n+1} = \sum\limits_{n=0}^i \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
Naja man sieht schon, dass es auf die Reihe(1/n) hinausläuft.

Wenn ich jetzt 1/n als Minorante nehme, was ja auch gilt. Kann ich daraus folgern, dass diese Teilreihe divergent ist und durch die Definition, ist die gesamte Reihe divergent.

Habe ich das richtig hergeleitet?

Habe zwar auch die ganzen Teile aufgeschrieben sehe aber nicht was ich mit denen anfangen kann.

28.11.2013, 22:50

NichtSoGut

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Habe ich so einen Müll geschrieben, dass keiner mehr antwortet?

29.11.2013, 07:35

Grautvornix

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Zitat:

Original von NichtSoGut
Habe ich so einen Müll geschrieben, dass keiner mehr antwortet?

Hier wurde schon hier schon auf wesentlich größeren Unsinn geantwortet aber niemand hat Bock sich zu wiederholen.

HAL9000 hat nämlich bereits alles Nötige zu diesem Thema gesagt.

Lies Dir seine Ausführung mal aufmerksam durch und überdenke dann deinen vorletzten Beitrag.

29.11.2013, 08:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von NichtSoGut
Du sagst im endeffekt ja nur, dass die Addition von einer Konvergenten und Divergenten auf eine konvergente Reihe hinausläuft.

Ist schon seltsam, was du aus meinen Beitrag herausliest: So einen Unsinn habe ich gewiss nirgendwo erzählt. Im übrigen hat Grautvornix alles nötige gesagt.

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