Dimension, Basen endlichdimensionaler Unteräume

26.11.2013, 15:34

DarthVader

Dimension, Basen endlichdimensionaler Unteräume

Hallo zusammen,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Und zwar folgedes:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und seien $\begin{eqnarray*} L_1, L_2 \subseteq V \end{eqnarray*}$ zwei Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie:
Wenn $\begin{eqnarray*} dim(L_1)+dim(L_2)>dim(V) \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} L_1 \cap L_2 \neq \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$ .

Hinweis:
Wählen Sie Basen in $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ und beweisen Sie, dass ihre Vereiningung linear abhängig sind.

Ansatz:
Wir haben vorher beweisen, dass Unterräume von endlichdimensionalen Vektorräumen ebenfalls endlichdimensional sind. Also kann ich setzen:
$\begin{eqnarray*} dim(V)=n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} dim(L_1)=r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dim(L_2)=s \end{eqnarray*}$
und weiter sei:
$\begin{eqnarray*} \left\{ k_1, ..., k_r \right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \left\{ l_1, ..., l_s \right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} L_1 \cup L_2 \end{eqnarray*}$ linear abhängig ist.

Hier bin ich auch schon am Ende meiner Fantasie. Mir fällt nichts dazu ein, wie ich das zeigen soll?

26.11.2013, 19:23

Elvis

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Du musst nicht zeigen, dass die Vereinigung der Untervektorräume linear abhängig ist. Das ist trivial, denn jeder Untervektorraum enthält den Nullvektor, ist also linear abhängig.
Du musst zeigen, dass die Vereinigung der Basen linear abhängig ist. Nun hast du $\begin{eqnarray*} r+s>n=dim V \end{eqnarray*}$ Vektoren. Was ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einem Vektorraum V und wie nennt man diese maximale Anzahl ? Siehst du, du bist schon fertig.

27.11.2013, 00:55

DarthVader

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Danke für deine Antwort. Diese maximale Anzahl meiner linear unabhängigen Vektoren ist ja gerade meine Basis. Die Vereinigung meiner beiden Basen bedeutet ja, dass diese maximale Anzahl überschritten wird. Also es linear abhängige Vektoren gibt. Die Anzahl der Basisvektoren ist deren Dimension. Also wenn nun r+s>n kann der Durchschnitt der Unterräume nicht nur den Nullvektor in sich haben sondern muss mindestens einen Vektor verschieden von Null haben. Jetzt müsste ich das noch formal aufschreiben.

27.11.2013, 18:13

Elvis

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Zitat:

Original von DarthVader
Diese maximale Anzahl meiner linear unabhängigen Vektoren ist ja gerade meine Basis.

Nein. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren ist die Dimension des Vektorraums.

Zitat:

Original von DarthVader
Die Vereinigung meiner beiden Basen bedeutet ja, dass diese maximale Anzahl überschritten wird. Also es linear abhängige Vektoren gibt. Die Anzahl der Basisvektoren ist deren Dimension.

Fast richtig. Die Anzahl der Basisvektoren ist die Dimension des Vektorraums.

Zitat:

Original von DarthVader
Also wenn nun r+s>n kann der Durchschnitt der Unterräume nicht nur den Nullvektor in sich haben sondern muss mindestens einen Vektor verschieden von Null haben. Jetzt müsste ich das noch formal aufschreiben.

Nicht mit Nullvektor argumentieren. Du hast r linear unabhängige Vektoren und s linear unabhängige Vektoren. Du hast r+s>n linear abhängige Vektoren, weil es nicht mehr als n linear unabhängige Vektoren geben kann. FERTIG.

28.11.2013, 00:24

DarthVader

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Vielen Dank für deine Hilfe Elvis =)

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