Transzendenz und Polynome

26.11.2013, 17:06	dishytype	Auf diesen Beitrag antworten »
Transzendenz und Polynome Moin moin! Ich bearbeite zur Zeit folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ heißt transzendet, wenn für beliebige Polynome $\begin{eqnarray} p(z) = \sum\limits_{j=0}^k a_{j}z^{j} \end{eqnarray}$ (mit $\begin{eqnarray} a_{j} \in \mathbb Z, a_{k} \neq 0 \end{eqnarray}$ ) gilt: $\begin{eqnarray} p(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ (a) Sei $\begin{eqnarray} x_{h} = \sum\limits_{n=0}^h 10^{-10^{n^{2}}} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} p(x_{h}) = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 10^{k10^{h^{2}}}\|p(x_{h})\| \geq 1 \end{eqnarray}$ (b) Beweisen Sie die Abschätzung: $\begin{eqnarray} \|p(x_{h})-p(x)\| \leq (\sum\limits_{j=1}^k \|a_{j}\|)k\|x_{h}-x\| \end{eqnarray}$ . Dabei gilt: $\begin{eqnarray} x = \sum\limits_{n=0}^\infty 10^{-10^{n^{2}}} \end{eqnarray}$ Mein Problem ist, dass ich nicht wirklich weiß, wie ich an die Aufgabe dran zu gehen habe, bzw verstehe vielleicht auch einfach nicht den Sinn der Beiden Aufgaben (bzw warum das jeweils so ist) Die Definition für transzendente Zahlen ist mir erstmal klar. Sind ja halt die Zahlen für die kein Polynom ne Nullstelle hat wie zB Pi. Was ich verstehe ist, dass die Reihe $\begin{eqnarray} x_{h} \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ die Summe folgender Glieder ist: $\begin{eqnarray} 10^{-1}, 10^{-10}, 10^{-10000}, ... \end{eqnarray*}$ Also insgesamt ne Zahl die ungerfähr so aussieht: 0,10000000010000..... Ich wäre so dankbar, wenn mir jemand die Augen öffnen könnte, was genau in der Aufgabe vor sich geht...

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