Unterraum

26.11.2013, 22:07

Plumbum

Unterraum

Hi, habe da mal eine Fragen.
Hier erstmal kurz die Aufgabe:

Welche der folgenden Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ sind bzgl. der komponentenweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren Unterräume des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ ?

a) $\begin{eqnarray*} M:= { x \in R^{2} : x1 \cdot x2 \geq 0 } \end{eqnarray*}$

So, nun muss ich ja zeigen, dass wenn z.B. u und v in M sind, auch u+v in M ist.

Hier kommt nun mein Problem..

Ich nehme ja beliebige u und v aus M.

Wie definiere ich die nun?

$\begin{eqnarray*} u = u1*u2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = v1*v2 \end{eqnarray*}$ ?
Also $\begin{eqnarray*} (u1\cdot u2) + (v1\cdot v2) \end{eqnarray*}$ ?

Danke

26.11.2013, 22:13

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du in LATEX eine gescheifte Klammer schreiben willst, musst du \{ bzw. \} schreiben. Du hast nur { und } geschrieben, deswegen werden die Klammern nicht angezeigt.

Wenn du $\begin{eqnarray*} u=u_1\cdot u_2 \end{eqnarray*}$ schreibst, hast du ja einfach nur ein Produkt, also ist u auch wieder eine reelle Zahl. Das kann ja dann nicht stimmen.
u und v müssen zweidimensionale Vektoren sein. Also $\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} u_1\cdot u_2\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} v_1\cdot v_2\geq 0. \end{eqnarray*}$
Du bildest jetzt die Summe u+v, und guckst dann, ob diese Summe wieder in M liegt.

26.11.2013, 22:19

Plumbum

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, na klar, dankeschön.

$\begin{eqnarray*} u+v= \begin{pmatrix} u1+v1 \\ u2+v2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} (u1+v1)\cdot (u2+v2) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Macht natürlich Sinn Freude

26.11.2013, 22:21

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (u_1+v_1)\cdot (u_2+v_2)\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist ja genau das, was du überprüfen musst. Das darfst du jetzt nicht einfach so hinschreiben.

26.11.2013, 22:31

Plumbum

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (u_1+v_1)\cdot (u_2+v_2)\Rightarrow u1u2 + u1v2 + v1u2 + v1v2 \end{eqnarray*}$ und da das alles Elemente aus M sind, sind sie ja auch $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Somit ist auch die Summe $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Ist eigentlich ziemlich offensichtlich, oder irre ich mich da ?
Wie schreibt man das denn am besten auf?

Danke nochmal für deine Hilfe

26.11.2013, 22:46

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Plumbum
$\begin{eqnarray*} (u_1+v_1)\cdot (u_2+v_2)\textcolor{red}{\Rightarrow} u1u2 + u1v2 + v1u2 + v1v2 \end{eqnarray*}$ und da das alles Elemente aus M sind, sind sie ja auch $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Somit ist auch die Summe $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Wieso steht da ein Implikationspfeil? Da gehört ein = hin.
Wegen $\begin{eqnarray*} u, v\in M \end{eqnarray*}$ weißt du lediglich, dass $\begin{eqnarray*} u_1u_2\geq0, v_1v_2\geq 0. \end{eqnarray*}$ Das kann aber auch bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ negativ sind oder dass $\begin{eqnarray*} u_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ negativ oder ...
Du weißt also

So offensichtlich ist das also nicht.

Kleiner Tipp: Möglicherweise ist die Aussage ja auch falsch. Vielleicht findest du ein Gegenbeispiel. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Unterraum

Verwandte Themen