DGL mit konstanten Koeffizienten

26.11.2013, 22:16	Heinzelmann3	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL mit konstanten Koeffizienten Hallo liebe Community, ich habe erstmal eine allgemeine Verständnisfrage. Ich suche die Lösung der DGL $\begin{eqnarray} \dot x(t)=Ax(t) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \text{ und } A \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray}$ gegeben und konstant ist. In diesem Fall, so habe ich es gelesen, ist die Lösung gegeben durch $\begin{eqnarray} x(t)=x_0 e^{At} \end{eqnarray}$ . Das hieße also, ich berechne $\begin{eqnarray} e^{At} \end{eqnarray}$ (mit Diagonalisierung, wobei gilt $\begin{eqnarray} e^{At}=e^{SDS^{-1}t}=Se^{Dt}S^{-1}=S \cdot diag(e^{t \lambda_1},e^{t \lambda_2}) \cdot S^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A=SDS^{-1} \end{eqnarray}$ , D Diagonalmatrix von A. Ist das richtig mit dem t? Dann habe ich $\begin{eqnarray} x(0) \end{eqnarray}$ gegeben. Wenn ich das mit $\begin{eqnarray} e^{At} \end{eqnarray}$ multipliziere, behandle ich es dann wie einen Zeilenvektor? Dann kommt da ja auch ein Zeilenvektor im Gesamten heraus, wobei meine linke Seite, x(t), doch ein Spaltenvektor ist, oder? Ich weiß, das ist evtl. eine doofe Frage, aber das beschäftigt mich irgendwie... Herzlichen Dank für jegliche Hilfe und viele Grüße!
27.11.2013, 00:57	in_line123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Sollte alles stimmen, aber du musst die Lösung rechts anmultiplizieren, so haben wir es zumindest gelernt Dann kommt auch kein Zeilenvektor heraus
27.11.2013, 18:15	Heinzelmann3	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja, ok. Dankeschön! Wie würde man diese allg. Lösung denn herleiten? Ich hab mal als Beispiel $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} x_0=x(0)=(-1, \sqrt{2})^T \end{eqnarray}$ . Die Lösung wäre dann also $\begin{eqnarray} x(t)=exp(At)x_0 \end{eqnarray}$ . Kann man diese Lösung noch auf andere Art und Weise bekommen und wenn ja, wie? Danke und viele Grüße HM3

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »