Prüfen ob Untervektorraum

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porter Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfen ob Untervektorraum
Hallo

Wieder habe ich hier eine Aufgabe, bei der ich ins straucheln gerate:

M ist eine beliebige Menge und definiert die Menge aller Funktionen von M nach .
Auf gibt es eine Vektorraumstruktur.

Jetzt soll ich prüfen, ob


ein Untervektorraum von ist.

Dass ist doch dadurch gegeben, dass .

Somit ist der Nullvektor enthalten, und V ist schonmal nicht 0?
Das wäre die erste Bedienung für einen Unterraum

Um zu zeigen, dass und nehme ich mir für das Erste zwei beliebige Vektoren, und zeige, dass ?

Aber irgendwie kriege ich das nicht auf die Reihe.

Vielen Dank für Eure Hilfe

Viele Grüße
porter
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Untervektorraum
Zitat:
Original von porter
Dass ist doch dadurch gegeben, dass .

Somit ist der Nullvektor enthalten, und V ist schonmal nicht 0?

Die Eigenschaft "" ist die Bedingung, daß die Funktion f ein Element von V ist. Das impliziert aber nicht, daß es überhaupt eine derartige Funktion gibt. Das mußt du also noch zeigen.

Zitat:
Original von porter
Um zu zeigen, dass und nehme ich mir für das Erste zwei beliebige Vektoren, und zeige, dass ?

Du mußt nicht zeigen, daß ist (wie bist du überhaupt darauf gekommen?), sondern daß die Summe der beiden Funktionen v und w, also v+w, wieder ein Element von V ist.

Ich schieb das dann mal in den Hochschulbereich.
 
 
porter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Untervektorraum
Zitat:
Original von klarsoweit

Die Eigenschaft "" ist die Bedingung, daß die Funktion f ein Element von V ist. Das impliziert aber nicht, daß es überhaupt eine derartige Funktion gibt. Das mußt du also noch zeigen.


Hmm, ich versuche mir gerade zu veranschaulichen, wie der Nullvektor da aussieht. In Worten heißt es ja, dass für alle Vektoren (oder Funktionen?) des Unterraumes eine Teilmenge existiert, sodass f(x) = 0 für alle x.

Und das f(x)=0 in dieser Menge enthalten ist muss ich ja gerade zeigen oder nicht?


Zitat:
Original von klarsoweit
Du mußt nicht zeigen, daß ist (wie bist du überhaupt darauf gekommen?), sondern daß die Summe der beiden Funktionen v und w, also v+w, wieder ein Element von V ist.


Ein Mitstudent meinte gestern zu mir, dass ich das so machen muss.

Zitat:
Original von klarsoweit
Ich schieb das dann mal in den Hochschulbereich.


Ups, entschuldigung
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Untervektorraum
Zitat:
Original von porter
Hmm, ich versuche mir gerade zu veranschaulichen, wie der Nullvektor da aussieht. In Worten heißt es ja, dass für alle Vektoren (oder Funktionen?) des Unterraumes eine Teilmenge existiert, sodass f(x) = 0 für alle x.

Und das f(x)=0 in dieser Menge enthalten ist muss ich ja gerade zeigen oder nicht?

Du mußt die Definition nochmal genau lesen: eine Funktion f ist Element des Vektorraums V genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge M_f gibt, so daß f(x)=0 ist für alle x aus M ohne M_f. Für unterschiedliche Funktionen f kann es natürlich unterschiedliche Teilmengen M_f geben. Überlege dir nun, welche Funktion f du trivialerweise als Nullvektor verwenden kannst.

Zitat:
Original von klarsoweit
Ein Mitstudent meinte gestern zu mir, dass ich das so machen muss.

Von mir aus. Da mußt du dich nun entscheiden, von wo du Hilfe erhalten willst. geschockt
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das, dass mein Nullvektor für alle 0 sein muss, und nicht nur für x\in M\ ohne\ M_f?

Ich weiß jetzt nicht, ob das stimmt, aber wäre hier z.B. richtig?

Wenn ja, dann wäre ja auch richtig? Dann hätte ich mehrere Funktionen, die den Nullvektor ergeben?

Falls das jetzt stimmen sollte, habe ich aber leider keine Ahnung, wie ich die anderen beiden Kriterien nachprüfen soll. Ich will mir natürlich lieber von Euch hier helfen lassen, anstatt mich auf die Aussagen eines Studenten zu verlassen.

Vielen Dank
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also laut Aufgabe wird ja vorausgesetzt, daß eine Vektorraumstruktur mitbringt. In gibt es also einen Nullvektor - nämlich eben die Null-Funktion. Jetzt wäre nur zu schauen, ob diese Null-Funktion auch in V enthalten ist.
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Also laut Aufgabe wird ja vorausgesetzt, daß eine Vektorraumstruktur mitbringt. In gibt es also einen Nullvektor - nämlich eben die Null-Funktion. Jetzt wäre nur zu schauen, ob diese Null-Funktion auch in V enthalten ist.



Dann wäre das, was ich oben geschrieben habe auch die Nullfunktion? Ist ja in der Form eigentlich auch . Da kann man ja jetzt auch mehrere Funktionen als Nullfunktion betrachten, je nachdem wie f(x) aussieht?

Und argumentieren tue ich jetzt so, dass ich sage ist diese Funktion 0, also demnach auch , weil eine Teilmenge von M ist?

Stimmt das?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von porter
Da kann man ja jetzt auch mehrere Funktionen als Nullfunktion betrachten, je nachdem wie f(x) aussieht?

Na ja, es gibt nur eine Nullfunktion und das ist f(x)=0. Wie der Funktionsterm aussieht, ist eher zweitrangig.

Zitat:
Original von porter
Und argumentieren tue ich jetzt so, dass ich sage ist diese Funktion 0, also demnach auch , weil eine Teilmenge von M ist?

Nee, du mußt schon ein M_f angeben. Daß M_f dann eine Teilmenge von M sein muß, ergibt sich fast von selbst.
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es bei der Nullfunktion nicht egal, wie aussieht? Die ist ja sowieso 0, egal was ich für x einsetze?
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt mal ein vielleicht einfacheres Beispiel zum Verständnis rausgesucht:

Prüfen ob U Untervektorraum von V:



Hier wäre der Nullvektor ja dann (0,0), also ist

Somit wäre der Nullvektor nicht in U enthalten? Ist das jetzt ausreichend, um zu sagen, dass U kein Untervektorraum ist? Weil eigentlich heißt es ja, dass sein muss, und nur weil der Nullvektor nicht enthalten ist, heißt das ja nicht automatisch, dass U=0?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von porter
Ist es bei der Nullfunktion nicht egal, wie aussieht?

Nein, das ist nicht egal. Laut Definition von V muß es eine endliche Teilmenge M_f geben, so daß die Funktion f außerhalb von M_f die Nullfunktion ist.

Zitat:
Original von porter
Hier wäre der Nullvektor ja dann (0,0), also ist

Somit wäre der Nullvektor nicht in U enthalten? Ist das jetzt ausreichend, um zu sagen, dass U kein Untervektorraum ist?

Schon richtig. Ich weiß nur nicht, ob der Fall einer Menge, die kein Unterraum ist, ein gutes Beispiel für eine Aufgabe ist, wo man die Unterraum-Eigenschaft für eine Menge zeigen soll.
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, ich verstehe das nicht.

Es steht ja, dass M eine beliebige Menge ist. Also kann ich auch nicht sagen, dass für die Teilmenge , bestehend aus {0} diese Bedienung erfüllt ist.

Da hier sein muss, kann man vielleicht sagen, dass für diese Bediengung erfüllt ist?

Ich bedanke mich jetzt schon mal sehr für deine Hilfe und deine Ausdauer.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte ja auch für M_f die leere Menge nehmen. Manchmal liegen die Dinge so nahe und doch so fern. Augenzwinkern
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es denn richtig, wenn ich sage, dass eine Nullfunktion für jede beliebigen Elemente 0 ist, aber da in der Aufgabenstellung explizit gefordert wird, eine Teilmenge anzugeben, für die das der Fall ist, dann muss ich das auch tun?

Wenn ich für M_f die leere Menge nehme, dann ist für alle x aus M die Nullfunktion = 0. Das heißt, auch jede andere beliebige Teilmenge M_f würde diese Voraussetzung erfüllen.

Aber da ich eben eine Teilmenge angeben muss, bei der das der Fall ist, nehme ich am Besten die leere Menge, weil ich ja nicht weiß, welche Elemente die Menge M bzw. die Teilmenge M_f enthält, und es somit am einfachsten ist, die leere Menge zu nehmen?


Danke für die Hilfe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht: eine Funktion f, die auf einer nicht-leeren Menge M_f nicht Null ist, hätte aber nicht die Eigenschaft eines Nullvektors. Denn der Nullvektor 0 muß ja die Eigenschaft v + 0 = 0 + v = v haben. Das wäre aber für eine derartige Funktion nicht der Fall.
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Vorsicht: eine Funktion f, die auf einer nicht-leeren Menge M_f nicht Null ist, hätte aber nicht die Eigenschaft eines Nullvektors. Denn der Nullvektor 0 muß ja die Eigenschaft v + 0 = 0 + v = v haben. Das wäre aber für eine derartige Funktion nicht der Fall.


Ok, ich glaube das verstehe ich. Auch wenn ich mir gerade nicht vorstellen kann, wie eine solche Funktion aussehen würde.

Also zum Kriterium 1 lautet es so:

Zeigen, dass V nicht leer ist.

Der Nullvektor f(x)=0 ist enthalten, weil für M_f={} die Bedienung erfüllt ist?


zum zweiten Kriterium:

Jetzt nehme ich mir 2 Elemente a,b aus V und zeige, dass a+b in V liegt.

Da hakt es auch schon wieder.

Wenn a und b in V liegen, weiß ich, dass zwei M_f existieren, die jeweils für a und b diese Bediengung erfüllen.

Somit ist für diese Teilmenge a(x)=0 und b(x)=0?

Wenn a(x)=0 für M ohne M_fa, dann sicher auch für M ohne M_fb
Gleiches gilt auch für b(x)

Kann ich mit irgendeiner dieser Überlegungen was anfangen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von porter
Somit ist für diese Teilmenge a(x)=0 und b(x)=0?

Nein, es ist doch umgekehrt. Außerhalb der Menge M_a ist a(x) = 0 und außerhalb der Menge M_b ist b(x) = 0 .

Zitat:
Original von porter
Wenn a(x)=0 für M ohne M_fa, dann sicher auch für M ohne M_fb

Darüber solltest du nochmal nachdenken. Gesucht ist ja jetzt eine endliche Menge M_c, wo außerhalb dieser Menge die Funktion c mit c(x) := a(x) + b(x) = 0 ist.
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit

Nein, es ist doch umgekehrt. Außerhalb der Menge M_a ist a(x) = 0 und außerhalb der Menge M_b ist b(x) = 0 .


Ah, Entschuldigung, ich meinte für M ohne diese Teilmenge ist es erfüllt.

Zitat:

Darüber solltest du nochmal nachdenken. Gesucht ist ja jetzt eine endliche Menge M_c, wo außerhalb dieser Menge die Funktion c mit c(x) := a(x) + b(x) = 0 ist.


Also ich habe eine Idee, kann aber auch sein, dass die kompletter Blödsinn ist.

1) es gibt ein M_a, sodass für M\M_a a(x)=0
2) es gibt ein M_b, sodass für M\M_b b(x)=0

a(x) und b(x) sind beide = 0, für M\

Somit ist für genau diese Menge a(x)+b(x) = 0, weil dabei a(x) und b(x) null sind.

Also würde ich sagen M_c = M_a \cap M_b

Stimmt das?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell ist deine Idee gut, nur hier:
Zitat:
Original von porter
a(x) und b(x) sind beide = 0, für M\

muß es heißen: a(x) und b(x) sind beide = 0, für

Außerdem wäre noch ein kleines Wort darüber zu verlieren, daß eine endliche Menge ist.
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das verstehe ich jetzt nicht.

Ich dachte es wäre gerade die Schnittmenge, weil dort diejenigen Werte enthalten sind, die beide gleich haben.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wir müssen ja eine Menge finden, wo a(x) + b(x) = 0 ist für alle x. Und das ist eben garantiert außerhalb der Vereinigungsmenge von M_a und M_b der Fall.
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Also sozusagen, wenn a(x)=0 für M\M_a, dann sicher auch für ?

Und wie sieht das jetzt bezüglich der Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation aus

Es gibt wieder ein M_a aus M, sodass a(x)=0 für M\M_a

Wenn dann t eine beliebige reelle(?) Zahl, dann ist für dieses M\M_a t*a(x) auch 0 ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

So sieht's aus. smile
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Wuhu...nach stundenlangem Rechnen kriege ich auch mal was von alleine auf die Reihe.

Vielen vielen Dank für deine Hilfe. smile
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