Wahrscheinlichkeit beim Würfeln

27.11.2013, 10:16

Egaus

Wahrscheinlichkeit beim Würfeln

Hallo,
Es wird mehrere Mal gewürfelt, bis die "sechs" kommt. Angenommen, die "sechs" kommt erst nach über 20 Würfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau bei einer Wurfzahl kommt, die durch 6 teilbar ist?
Mein Ansatz: Die Wahrscheinlichkeit bei Wurf 1: P=1/6; bei Wurf 2: P=5/6*1/6....
Bei Wurf 6: P=5^5/6^5
Das wäre, wenn die "sechs" bis zu Wurf 6 kommt, die Wahrscheinlichkeit für Wurf 6.
Wie wird gerechnet, wenn weiter gewürfelt wird, bis halt die "sechs" kommt?
Gruß, Egaus

27.11.2013, 10:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Egaus
Mein Ansatz: Die Wahrscheinlichkeit bei Wurf 1: P=1/6; bei Wurf 2: P=5/6*1/6....
Bei Wurf 6: P=5^5/6^5

Richtig, die Position $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , wo die erste Sechs fällt, ist geometrisch verteilt

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = \frac{1}{6} \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du "nur" die Wahrscheinlichkeiten aufsammeln für die durch 6 teilbaren Positionen $\begin{eqnarray*} k=6j \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty} P(X=6j) = \frac{1}{6} \cdot \sum_{j=1}^{\infty} \left( \frac{5}{6} \right)^{6j-1} = \frac{1}{6}\cdot \frac{6}{5} \cdot \sum_{j=1}^{\infty} \left( \left( \frac{5}{6} \right)^6 \right)^j \end{eqnarray*}$ ,

Auswertung dann per geometrischer Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty} q^j = \frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

27.11.2013, 12:06

Egaus

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Habe für die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Wert von rund 0,1 erhalten. Stimmt das? Bitte den genauen Wert nicht bekannt geben!

27.11.2013, 12:11

HAL 9000

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Das kommt ziemlich genau hin, ja.

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