Ungleichung

27.11.2013, 12:22	Dicker Pulli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Zeige: $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}<\sqrt{\frac 1n} \end{eqnarray}$ für alle n. Wie kann diese Ungleichung bewiesen werden? Wir peilen’s einfach nicht und sind am Verzweifeln. HELP!
27.11.2013, 13:00	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung Das sieht mir nach einer vollständigen Induktion aus. Hab's aber nicht ausprobiert.
27.11.2013, 13:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde einfach "etwas mehr" beweisen, nämlich $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k+1} < \sqrt{\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ . Siehe auch diese zweite Anmerkung zur Vollständigen Induktion. P.S.: Mit "etwas feinerer" Klinge kann man übrigens auch das deutlich schärfere $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{\pi}{4n+4}} < \prod_{k=1}^n \frac{2k}{2k+1} < \sqrt{\frac{\pi}{4n+2}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 0 \end{eqnarray}$ nachweisen (Stichwort: Wallissches Produkt).

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