Euelerverfahren für DGL höherer Ordnung.

27.11.2013, 17:40	macman2010	Auf diesen Beitrag antworten »
Euelerverfahren für DGL höherer Ordnung. http://www2.tci.uni-hannover.de/datenver...ung/euler-1.pdf Wie könnte ich dieses Verfahren auf eine DGL höherer Ordnung anwenden? Wie z.b. die Freie Schwingungsgleichun, in welcher die erste Ableitung garnicht erst vorkommt? und die Schreibweise in diesem Skript verstehe ich nicht was ist f(t,y(t)) das ist doch keine Partielle differentialglachung. und y´(t)=y(t) da ist y(t) doch einfach c*e^x warum ist das hier ne logistische Funktion dass ist doch Stuss oder? MfG Macman2010
27.11.2013, 17:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede reelle DGL $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ter Ordnung kann in eine DGL erster Ordnung für eine $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensionale Lösungsfunktion transformiert werden. Und für letztere ist das Euler-Verfahren anwendbar, dann eben mit vektorwertiger Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ .
27.11.2013, 18:07	macman2010	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist f(t,y(t))
30.11.2013, 09:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachten wir vielleicht mal konkret als Beispiel die von dir angesprochene ungedämpfte Schwingungs-DGL $\begin{eqnarray} x''(t) = -k\cdot x(t) \end{eqnarray}$ , dann erübrigt sich vielleicht diese Frage. Wandeln wir zunächst die DGL zweiter Ordnung wie angesprochen um in eine DGL erster Ordnung für den Vektor $\begin{eqnarray} y(t) = (y_1(t),y_2(t)) = (x(t),x'(t)) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} y_1'(t) &= y_2(t) \\ y_2'(t) &= -k\cdot y_1(t) \end{eqnarray}$ Das ganze besitzt nun die Form $\begin{eqnarray} y(t) = f(t,y(t)) = f(t,y_1(t),y_2(t)) \end{eqnarray}$ , und zwar mit der vektorwertigen Funktion $\begin{eqnarray} f(t,y_1,y_2) = \begin{pmatrix} y_2 \\ -k\cdot y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , d.h. der Funktionswertvektor hängt gar nicht (primär) vom Zeitargument $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ab, und die erste Komponente nicht von $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ und die zweite Komponente nicht von $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ - muss ja auch nicht sein. Mit einem gegebenen Startvektor $\begin{eqnarray} y(0) = (x(0),x'(0)) \end{eqnarray}$ , d.h. bestehend aus Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit, kannst du dann dein Eulerverfahren losrechnen lassen.

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