Konvergenz einer Reihe

27.11.2013, 19:28

Konvergenzchen

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
Hallöchen.

Für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos (\frac{n \pi}{7})}{\sqrt[3]{n}} x^{n} \end{eqnarray*}$

Tipp: Für die Randpunkte des Konvergenzradius darf man das Kriterium von Dirichlet verwenden.

Meine Ideen:
Das Kriterium von Dirichlet sagt ja, dass
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k b_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k , b_k \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist und die Folge $\begin{eqnarray*} (B_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ der Partialsummen $\begin{eqnarray*} B_n =\sum\limits_{k=0}^{n} b_k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

Aber wie zeige ich das?

27.11.2013, 19:36

HAL 9000

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Du kannst $\begin{eqnarray*} \cos(x) = \operatorname{Re}(e^{xi}) \end{eqnarray*}$ für die erforderliche Abschätzung nutzen, denn dann ist

$\begin{eqnarray*} B_n = \sum_{k=1}^n \cos\left( \frac{n\pi}{7} \right) = \operatorname{Re}\left(\sum_{k=1}^n e^{\frac{n\pi}{7}i} \right) = \operatorname{Re}\left(\sum_{k=1}^n q^n \right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} q:=e^{\frac{\pi}{7}i} \end{eqnarray*}$ , und diese Partialsumme einer geometrischen Reihe lässt sich nun betragsmäßig leicht nach oben durch eine von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängige Zahl abschätzen.

27.11.2013, 19:55

Konvergenzchen

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Hallo HAL 9000. Danke für deine Antwort.

Zitat:

Original von HAL 9000
Du kannst $\begin{eqnarray*} \cos(x) = \operatorname{Re}(e^{xi}) \end{eqnarray*}$ für die erforderliche Abschätzung nutzen,

Ich kann das für die Abschätzung nutzen. Re ist der Realteil und wieso ist das genau gleich dem Cosinus von x?

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} B_n = \sum_{k=1}^n \cos\left( \frac{n\pi}{7} \right) = \operatorname{Re}\left(\sum_{k=1}^n e^{\frac{n\pi}{7}i} \right) = \operatorname{Re}\left(\sum_{k=1}^n q^n \right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} q:=e^{\frac{\pi}{7}i} \end{eqnarray*}$ , und diese Partialsumme einer geometrischen Reihe lässt sich nun betragsmäßig leicht nach oben durch eine von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängige Zahl abschätzen.

Also mit Abschätzungen mache ich jetzt erst meine ersten Erfahrungen. Ich weiß, dass wenn ich einen Bruch im Nenner größer mache dann wird der Wert an sich kleiner als der Wert vorher. Lange Rede kurzer Sinn. Also betrachten wir zuerst nur den Zähler?

27.11.2013, 20:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Konvergenzchen
Re ist der Realteil und wieso ist das genau gleich dem Cosinus von x?

Im Klartext: Dir fehlt das Grundwissen zu komplexen Zahlen? Denn andernfalls solltest du Eulersche Formel $\begin{eqnarray*} e^{xi}=\cos(x)+i\sin(x) \end{eqnarray*}$ eigentlich kennen.

27.11.2013, 20:39

Konvergenzchen

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Zitat:

Original von HAL 9000
Im Klartext: Dir fehlt das Grundwissen zu komplexen Zahlen? Denn andernfalls solltest du Eulersche Formel $\begin{eqnarray*} e^{xi}=\cos(x)+i\sin(x) \end{eqnarray*}$ eigentlich kennen.

Die Komplexen Zahlen hatten wir kurz. Also wie man mit diesen rechnet. Sowas hatten wir jedoch nicht. Wo ist denn aber der Sinus dann hin? Bzw. wie stellst du die Gleichung um, sodass der Sinus wegfällt?

Danke HAL 9000

27.11.2013, 20:50

HAL 9000

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Re steht für Realteil, das hattest du doch oben schon erkannt - dann sollte doch eigentlich klar sein, wohin der Sinus "verschwindet": Der liegt doch ausschließlich im Imaginärteil.

Ich werde diesen Weg jetzt nicht weiter verfolgen, hab keine Lust, mit dir die Grundlagen des Rechnens mit komplexen Zahlen zu wiederholen.

27.11.2013, 21:03

Konvergenzchen

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich werde diesen Weg jetzt nicht weiter verfolgen, hab keine Lust, mit dir die Grundlagen des Rechnens mit komplexen Zahlen zu wiederholen.

Na dann.

Weiß gar nicht was ich darauf antworten soll, bin ein wenig schockiert geschockt

27.11.2013, 21:41

HAL 9000

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Die Konstellation hier erlaubt einen anderen Weg (sogar auf das Dirichlet-Kriterium könnte man verzichten): Für $\begin{eqnarray*} b_k = \cos\left( \frac{k\pi}{7} \right) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} b_{k+7} = \cos\left( \frac{(k+7)\pi}{7} \right) = \cos\left( \frac{k\pi}{7} + \pi \right) = -b_k \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} b_{k+14}=b_k \end{eqnarray*}$ , d.h. Folge $\begin{eqnarray*} (b_k) \end{eqnarray*}$ ist periodisch. Zudem gilt für $\begin{eqnarray*} B_n = \sum_{k=1}^n b_k \end{eqnarray*}$ die Rechnung

$\begin{eqnarray*} B_{14} = \sum_{k=1}^7 b_k + \sum_{k=8}^{14} b_k = 0 \end{eqnarray*}$ ,

d.h. auch $\begin{eqnarray*} (B_n) \end{eqnarray*}$ ist periodisch mit Periode 14 - und damit insbesondere beschränkt. Und mehr brauchst du ja nicht.

Wenn dir das aber auch nicht passt, dann bin ich endgültig weg.

27.11.2013, 21:46

Konvergenzchen

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Zitat:

Original von HAL 9000

d.h. auch $\begin{eqnarray*} (B_n) \end{eqnarray*}$ ist periodisch mit Periode 14 - und damit insbesondere beschränkt. Und mehr brauchst du ja nicht.

Unsere Reihe ist ja eine Potenzreihe. Du sagst jetzt, dass die Reihe beschränkt ist, d.h. sie divergiert?

27.11.2013, 22:22

HAL 9000

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Ich sehe, dass das alles keinen Zweck hat. Vielleicht gehst du erst mal an den Anfangspunkt zurück, und erledigst die "Pflicht": Die Bestimmung des Konvergenzradius - mir fällt nämlich gerade auf, dass das noch gar nicht geschehen ist. Die ganze Dirichlet-Geschichte bezieht sich ja eh nur dann auf die Konvergenzfrage auf dem Rand des Konvergenzintervalls.

27.11.2013, 22:38

Konvergenzchen

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Konvergenzchen
Meine Frage:
Hallöchen.

Für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos (\frac{n \pi}{7})}{\sqrt[3]{n}} x^{n} \end{eqnarray*}$

Gefragt ist doch aber für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert. Und so wird doch nur Konvergenz gezeigt.

27.11.2013, 22:45

HAL 9000

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Es scheint wohl gar nichts an Wissen da zu sein... unglücklich

1.Schritt: Bestimmung des Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ dieser Potenzreihe. Dann ist klar, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} |x|<R \end{eqnarray*}$ konvergiert und für $\begin{eqnarray*} |x|>R \end{eqnarray*}$ divergiert.

2.Schritt: Für die Einzelfälle $\begin{eqnarray*} x=\pm R \end{eqnarray*}$ ist gesondert zu untersuchen, ob Konvergenz oder Divergenz vorliegt.

----------------

Oben hatten wir voreilig Betrachtungen zum zweiten Schritt angestellt, aber du hast ja anscheinend überhaupt erst noch mit dem von mir leichtfertigerweise als selbstverständlich abgetanen 1.Schritt zu kämpfen.

27.11.2013, 23:08

Konvergenzchen

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RE: Konvergenz einer Reihe
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| = \bigg| \frac{\frac{\cos (\frac{n \pi}{7})}{\sqrt[3]{n}}}{\frac{\cos (\frac{(n+1) \pi}{7})}{\sqrt[3]{n+1}}} \bigg| = \bigg| \frac{\cos (\frac{n \pi}{7}) \sqrt[3]{n+1}}{\cos (\frac{(n+1) \pi}{7}) \sqrt[3]{n}} \bigg| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\cos (\frac{n \pi}{7}) \sqrt[3]{n+1}}{\cos (\frac{(n+1) \pi}{7}) \sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$

Ja ich hab kein Wissen, ich bin halt total dumm. Wie du auch in deinem wegeditierten Beitrag noch schöner beschrieben hast.

27.11.2013, 23:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Konvergenzchen
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

Diese Formel ist nur anwendbar, wenn der Grenzwert auch wirklich existiert. Das ist hier nicht der Fall.

Was immer klappt, ist die sog. Cauchy-Hadamard-Formel

$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \end{eqnarray*}$ ,

so auch hier

28.11.2013, 10:10

Konvergenzchen

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$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|\frac{\cos (\frac{n \pi}{7})}{\sqrt[3]{n}}|}} \end{eqnarray*}$

Ich weiß wirklich nicht wie ich es vereinfachen könnte.

28.11.2013, 11:00

HAL 9000

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Da muss man ein wenig über den Verlauf der Kosinusfunktion nachdenken. Zum einen, dass alle Werte betragsmäßig $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ sind, und dann auch, wo diese 1 angenommen wird! Für $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{\cos\left( \frac{n\pi}{7} \right)}{\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$ gilt damit die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} |a_n| \leq \frac{1}{\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$

und zwar mit Gleichheit für $\begin{eqnarray*} n=7m \end{eqnarray*}$ . Daher ist

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt[3]{n}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[3n]{n}} \end{eqnarray*}$

so denn der rechts stehende Grenzwert existiert - und das ist der Fall. Den kannst du doch ausrechnen?

28.11.2013, 11:22

Konvergenzchen

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Zitat:

Original von HAL 9000
so denn der rechts stehende Grenzwert existiert - und das ist der Fall. Den kannst du doch ausrechnen?

Der Grenzwert muss doch 1 sein.

28.11.2013, 11:25

HAL 9000

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Ja, er ist 1, und damit ergibt sich auch eingesetzt Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ .

28.11.2013, 11:29

Konvergenzchen

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es scheint wohl gar nichts an Wissen da zu sein... unglücklich

2.Schritt: Für die Einzelfälle $\begin{eqnarray*} x=\pm R \end{eqnarray*}$ ist gesondert zu untersuchen, ob Konvergenz oder Divergenz vorliegt.

Dann fehlt jetzt noch der zweite Schritt. Wie untersuche ist den die Einzelfälle gesondert?

28.11.2013, 11:38

HAL 9000

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Ja erstmal die Randpunkte in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos\left(\frac{n \pi}{7}\right)}{\sqrt[3]{n}} x^n \end{eqnarray*}$ einsetzen - was sonst!

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ergibt die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos\left(\frac{n \pi}{7}\right)}{\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ergibt die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{\cos\left(\frac{n \pi}{7}\right)}{\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$ .

Beide Reihen sind auf Konvergenz zu überprüfen, und jetzt knüpft die oben begonnene Diskussion (mit Dirichlet-Kriterium usw.) an.

Ich revidiere übrigens meine Einschätzung von oben zum zweiten rein reellen Weg: Der mag für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ passen, für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ und die eben genannte zugehörige Reihe klappt das aber so nicht. Der erste Weg über die komplexe geometrische Reihe funktioniert aber auch hier (mit Modifikationen wegen des $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ).

28.11.2013, 12:04

Konvergenzchen

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Zitat:

Original von HAL 9000
Beide Reihen sind auf Konvergenz zu überprüfen, und jetzt knüpft die oben begonnene Diskussion (mit Dirichlet-Kriterium usw.) an.

Ich revidiere übrigens meine Einschätzung von oben zum zweiten rein reellen Weg: Der mag für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ passen, für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ und die eben genannte zugehörige Reihe klappt das aber so nicht. Der erste Weg über die komplexe geometrische Reihe funktioniert aber auch hier (mit Modifikationen wegen des $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ).

Also zwei Reihen.
$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ergibt die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos\left(\frac{n \pi}{7}\right)}{\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ergibt die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{\cos\left(\frac{n \pi}{7}\right)}{\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt legst du mir an's Herz den Weg über die komplexe geometrische Reihe zu gehen. Gut.

Wie fange ich jetzt die Abschätzung für die erste Reihe an? Mit

Zitat:

Original von HAL 9000
Du kannst $\begin{eqnarray*} \cos(x) = \operatorname{Re}(e^{xi}) \end{eqnarray*}$ für die erforderliche Abschätzung nutzen, denn dann ist

$\begin{eqnarray*} B_n = \sum_{k=1}^n \cos\left( \frac{n\pi}{7} \right) = \operatorname{Re}\left(\sum_{k=1}^n e^{\frac{n\pi}{7}i} \right) = \operatorname{Re}\left(\sum_{k=1}^n q^n \right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} q:=e^{\frac{\pi}{7}i} \end{eqnarray*}$ , und diese Partialsumme einer geometrischen Reihe lässt sich nun betragsmäßig leicht nach oben durch eine von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängige Zahl abschätzen.

Diese Partialsumme einer geometrischen Reihe lässt sich nun betragsmäßig leicht nach oben durch eine von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängige Zahl abschätzen. Zum Beispiel mit verwirrt

-1?

28.11.2013, 14:33

HAL 9000

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Zunächst mal ist laut Partialsummenformel der geometrischen Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n q^n = q\cdot \frac{1-q^n}{1-q} \end{eqnarray*}$

für alle komplexen $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ . Nun kann man ja $\begin{eqnarray*} |\operatorname{Re}(z)|\leq |z| \end{eqnarray*}$ abschätzen, weswegen wir uns auf den Betrag und dessen Abschätzung konzentrieren können. Für $\begin{eqnarray*} q=e^{\frac{\pi}{7}i} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |q|=1 \end{eqnarray*}$ , es folgt mit Dreiecksungleichung im Zähler

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1-q^n}{1-q} \right| = \frac{|1-q^n|}{|1-q|} \leq \frac{1+|q^n|}{|1-q|} = \frac{2}{|1-q|} \end{eqnarray*}$ ,

und das ist es eigentlich schon: Eine obere Schranke, von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängig.

Für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ geht es genauso, nur mit anderem $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ .

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