Induktionsbeweis

27.11.2013, 21:35

HansiRaffNix

Induktionsbeweis

Meine Frage:
Hallo,

die Aufgabe lautet:
fidnen sie alle n element von N mit 5 hoch (n) + 6 hoch (n) < 7 hoch (n)

entschuldige für die schlechte formatierung

Meine Ideen:
Meine Idee war einen Induktionsbeweis durchzuführen.
IA: sei n = 3
5³ + 6³ < 7³ (stimmt also schon mal für manche n)

IS: 5 hoch (n+1) + 6 hoch (n+1) < 7 hoch (n+1)

und da hörts leider schon auf, wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.

27.11.2013, 21:42

10001000Nick1

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Du kannst das so machen:
$\begin{eqnarray*} 7^{n+1}=7^n\cdot 7\stackrel{\text{laut Induktionsvoraussetzung}}{>}(5^n+6^n)\cdot 7=... \end{eqnarray*}$
Und jetzt machst du weiter.

27.11.2013, 21:56

HansiRaffNix.

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also die linke seite verstehe ich, aber ich versetehe nicht, wie du die 7 auf die rechte Seite bekommen hast und wieso auf der rechten Seite nicht auch n+1 duchgeführt wird

27.11.2013, 22:13

10001000Nick1

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Laut Induktionsvoraussetzung ist $\begin{eqnarray*} 7^n>5^n+6^n. \end{eqnarray*}$
Diese Ungleichung kann jetzt auf beiden Seiten mit 7 multiplizieren, dann folgt daraus $\begin{eqnarray*} 7^n\cdot 7>(5^n+6^n)\cdot 7. \end{eqnarray*}$

Meintest du das?

27.11.2013, 22:22

HansiRaffNix.

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achso, du hast das nur mit 7 multipliziert.
wenn ich dann allerdings den IS mache, also n+1 für n einsetze stände dann ja dort:

7 hoch (n+1) * 7 > (5 hoch (n+1) + 6 hoch (n+1) )*7

bzw. 7 hoch (n) *49 > ...
was bringt es mir beides mit 7 zu multiplizieren?

27.11.2013, 22:24

thk

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Hi, darf ich mal ungebeten einen Vorschlag einwerfen :O

$\begin{eqnarray*} 5\cdot 5^n+6\cdot 6^n<7\cdot 7^n | :7 \end{eqnarray*}$

Das wars schon smile

Gute Nacht

27.11.2013, 22:28

10001000Nick1

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@thk: Was willst du denn damit sagen? Die Ungleichung, die du da hin geschrieben hast, ist ja genau das, was man im Induktionschritt zeigen muss. Und warum soll man da durch 7 dividieren?

@Hansi: Das, was ich da hingeschrieben habe, gehört schon zum Induktionsschritt. Deswegen steht doch da links auch $\begin{eqnarray*} 7^{n+1}. \end{eqnarray*}$ Das formt man jetzt um und schätzt es nach unten ab, um zeigen, dass das größer als $\begin{eqnarray*} 5^{n+1}+6^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist.

27.11.2013, 22:31

HansiRaffNix.

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Klar, gerne, ich bin für alles dankbar Freude

ich wusste, dass man 5 hoch(n+1) zu 5*5 hoch(n) umformen kann und die anderen auch. Allerdings wird mir nicht klar, wie mich das weiterbringt, wenn ich alles durch 7 teile verwirrt

27.11.2013, 22:34

thk

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IV:
$\begin{eqnarray*} 5^n+6^n<7^n \end{eqnarray*}$

IBeh:
$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}+6^{n+1}<7^{n+1} \end{eqnarray*}$

IBew:
$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}=5\cdot 5^n \end{eqnarray*}$ usw.

$\begin{eqnarray*} 5\cdot 5^n+6\cdot 6^n<7\cdot 7^n | :7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{7}\cdot 5^n+\frac{6}{7}\cdot 6^n < 7^n \end{eqnarray*}$
trivial, da 5/7<1 und 6/7<1 ist.

27.11.2013, 22:37

HansiRaffNix.

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etwas nach unten abschätzen hatten wir noch nicht und ich weiß ehrlich gesagt nicht wirklich, wie ich das machen sollte.

unten hast du doch beide seiten nur mit 7 multipliziert. ich sehe grade nicht wo du (n+1) für n eingesetzt hast.

27.11.2013, 22:38

10001000Nick1

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@thk: Ich verstehe immer noch nicht, warum du da einfach $\begin{eqnarray*} 5\cdot 5^n+6\cdot 6^n<7\cdot 7^n \end{eqnarray*}$ hinschreibst. Woher weißt du denn, dass das gilt? Das soll man doch erst zeigen.
Und was du danach macht, weiß ich auch nicht so wirklich.

@Hansi: Ich habe doch $\begin{eqnarray*} 7^{n+1} \end{eqnarray*}$ geschrieben, da habe ich n+1 für n eingesetzt. verwirrt

Diese Abschätzungen, die man hier braucht, sind sehr einfach, das braucht in nicht in der Vorlesung gemacht haben, das kriegst du trotzdem hin. smile

27.11.2013, 22:39

HansiRaffNix.

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@ thk : Damit wäre dann ja bewiesen, dass die Behauptung stimmt. Allerdings weiß ich damit doch noch nicht, welche werte für n einzusetzen sind, oder?

27.11.2013, 22:41

thk

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Vielleicht musst du das erst mal überschlafen. Noch deutlicher kann man es nicht schreiben.

5^(n+1) habe ich im Beweis durch 5*5^n ersetzt usw. Daher ist das ^(n+1) weggefallen.

wenn ich dann die linke Seite kleiner mache, dann muss die Relation "<" erst recht gelten.

Muss dann in die Heia. Guck dir alles erst mal in Ruhe an, ist wirklich ganz einfach.

Edit zu letztem: Für n>=3 laut Induktionsanfang smile

Und ja, für alle n>2 ist es damit bewiesen.

27.11.2013, 22:46

thk

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
@thk: Ich verstehe immer noch nicht, warum du da einfach $\begin{eqnarray*} 5\cdot 5^n+6\cdot 6^n<7\cdot 7^n \end{eqnarray*}$ hinschreibst. Woher weißt du denn, dass das gilt?

Das ist die Induktionsbehauptung !! Die muss bewiesen werden.

Im Ind.-Schritt gilt die Aussage für n als Vorauss und die für n+1 als Behauptung.
Wenn die n-te Stufe hält (Vorauss), dann muss auch die n+1-te halten. Das wird bewiesen smile

27.11.2013, 22:48

HansiRaffNix.

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ich denke ich habs verstanden, vielen danke euch beiden Gott

gute nacht Schläfer

27.11.2013, 22:54

10001000Nick1

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Du sagst es ja richtig: Die Induktionsbehauptung $\begin{eqnarray*} 5\cdot 5^n+6\cdot 6^n<7\cdot 7^n \end{eqnarray*}$ muss bewiesen werden!!!
Du schreibst die aber einfach hin (setzt sie also als richtig voraus) und zeigst dann damit, dass $\begin{eqnarray*} \frac{5}{7}\cdot 5^n+\frac{6}{7}\cdot 6^n < 7^n \end{eqnarray*}$ gilt.

Zusammenfassung: Du nimmst eine zu beweisende Aussage, setzt diese als richtig voraus, und folgerst dann daraus irgendwas anderes. geschockt

Wenn ich es so mache wie du, kann ich auch beweisen, dass alle Krokodile pink sind.
Beweis: Ich setze einfach voraus, dass alle Krokodile pink sind. Daraus folgt dann, dass alle Krokodile pink sind.

@thk: Lies dir doch mal das Boardprinzip durch. Wenn es schon einen Helfer gibt, sollte man nicht einfach so dazwischenplatzen.

28.11.2013, 11:09

Grautvornix

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
@thk: Lies dir doch mal das Boardprinzip durch. Wenn es schon einen Helfer gibt, sollte man nicht einfach so dazwischenplatzen.

Eine unnötige Zurechtweisung, denn von 'einfach so dazwischenplatzen' kann keine Rede sein, wie man hier sieht:

Zitat:

Original von thk
Hi, darf ich mal ungebeten einen Vorschlag einwerfen :O

$\begin{eqnarray*} 5\cdot 5^n+6\cdot 6^n<7\cdot 7^n | :7 \end{eqnarray*}$

Das wars schon smile

Gute Nacht

Und tatsächlich steckt in diesem Hinweis alles Nötige.

Ich schreib's mal anders auf.

Zunächst gilt offenbar:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\frac 57}_{<1}\cdot 5^n+\underbrace{\frac 67}_{<1} \cdot 6^n<5^n+6^n. \end{eqnarray*}$

Zusammen mit der IV folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} \frac 57\cdot 5^n+\frac 67\cdot 6^n<7^n. \end{eqnarray*}$

Für den IS multipliziert man nur noch mit $\begin{eqnarray*} 7. \end{eqnarray*}$

28.11.2013, 17:40

thk

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Du sagst es ja richtig: Die Induktionsbehauptung $\begin{eqnarray*} 5\cdot 5^n+6\cdot 6^n<7\cdot 7^n \end{eqnarray*}$ muss bewiesen werden!!!
Du schreibst die aber einfach hin (setzt sie also als richtig voraus) ...

@ 10001000Nick1
Du musst dir bitte erst einmal das Induktionsprinzip verinnerlichen. Eher kannst du auch nicht als Helfer auf Fragen antworten, bei denen es um einen Induktionsbeweis geht. (Dann hätte ich auch meinen Tipp hier nicht gepostet.)

Die obige Gleichung ist, wie du selbst schreibst, eine Behauptung. Das sollte dir alles sagen, wenn du erst weißt, warum die Ungleichung
$\begin{eqnarray*} 5^n+6^n<7^n \end{eqnarray*}$ im Induktionsschritt als Voraussetzung fungiert.

LG

28.11.2013, 17:44

10001000Nick1

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Zitat:

Original von thk
@ 10001000Nick1
Du musst dir bitte erst einmal das Induktionsprinzip verinnerlichen. Eher kannst du auch nicht als Helfer auf Fragen antworten, bei denen es um einen Induktionsbeweis geht. (Dann hätte ich auch meinen Tipp hier nicht gepostet.)

Dieser Hinweis ist hier echt nicht angebracht. Als Mathematikstudent im dritten Semester glaube ich schon, zu wissen, wie Induktion funktioniert ...

28.11.2013, 17:56

thk

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Dann weißt du ja auch, warum der Beweis - wie geführt - absolut schlüssig und dein Vergleich mit den pinkfarbenen Krokos, mit Verlaub, völlig unangebracht ist Augenzwinkern

Mit der nochmaligen Erklärung von Grautvornix sollte das hier nun erledigt sein.

28.11.2013, 17:59

10001000Nick1

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Das, was Grautvornix geschrieben hat, ist ja auch absolut in Ordnung. Da hatte ich ja nie etwas anderes behauptet.

28.11.2013, 18:04

Leopold

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@ thk

Dein Beweis ist in der Tat fragwürdig, da er mit der zu beweisenden Behauptung anfängt. Zumindest hättest du am Ende noch den Satz

Da alle Umformungen Äquivalenzumformungen waren, gilt mit der letzten auch die erste Aussage.

oder ähnlich anbringen müssen. Dann ist es in Ordnung.

@ 10001000Nick1

Dein Vorgehen, bei dem du allerdings unterbrochen wurdest, ist völlig in Ordnung. Ob man jetzt wie bei thk oder Grautvornix 5/7 und 6/7 nach oben durch 1 abschätzt oder wie bei dir 7 nach unten durch 6 bzw. 5, bleibt sich letztlich gleich. Dein Vorgehen hat gegenüber dem von thk den Vorteil, daß man sich nicht nachträglich rechtfertigen muß (was ja thk auch unterlassen hat).

28.11.2013, 21:23

jimmyt

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Gleich vorneweg, falls die Frage aufkommen sollte, warum ich jetzt auch noch meinen Senf dazu gebe:
Ich habe von Anfang an diesen Thread verfolgt. Im Gegensatz zu thk habe ich Nick aber eine pn geschrieben.
Und Nick, der Ersthelfer!, hat keine Einwände, wenn ich auch noch ein paar Anmerkungen poste:

Zitat:

Original von thk
...
trivial, da 5/7<1 und 6/7<1 ist.
...
Vielleicht musst du das erst mal überschlafen
---
Du musst dir bitte erst einmal das Induktionsprinzip verinnerlichen.
...
Eher kannst du auch nicht als Helfer auf Fragen antworten, bei denen es um einen Induktionsbeweis geht.
...

Ich finde, einfach die Lösung hinknallen und sagen "... das ist ja trivial ..." ist kein guter Beweis.
Da stehe ich auf der Seite von Nick. Ganz gleich, ob der I.S. von thk am Ende richtig war oder nicht.
Die anderen Bemerkungen sind Geschmacksache, ich finde sie auch nicht gut.

Zitat:

Original von Grautvornix
...
Eine unnötige Zurechtweisung, denn von 'einfach so dazwischenplatzen' kann keine Rede sein, wie man hier sieht
...
Und tatsächlich steckt in diesem Hinweis alles Nötige.
...

Das sehe ich beides anders.
Siehe Boardprinzip:
"... Viele Köche verderben den Brei (oder so ähnlich). Wenn bereits ein Dialog zwischen User und Helfer besteht und alles glatt läuft,
halte Deine Vorschläge solange zurück bis das Problem des Users gelöst wurde. ..."

Und zu den pinkfarbenen Krokos:
Ich mußte darüber mehr lachen als sonst was.
Ich dachte mir, Mensch, jetzt nimmt der Nick aber richtig Fahrt auf. Big Laugh

EDIT: @thk:
"... Und hey wenn hier Politik betrieben werden soll, dann entscheide ich micht auch für die pinkfarbenen Krokos "

Ich betreibe hier keine Politik, sondern habe meine Meinung geäußert.
Aber das du dich für die Krokos entscheidest finde ich gut. Big Laugh

28.11.2013, 21:37

thk

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Zitat:

Original von Leopold
@ thk

Dein Beweis ist in der Tat fragwürdig, da er mit der zu beweisenden Behauptung anfängt. Zumindest hättest du am Ende noch den Satz

Da alle Umformungen Äquivalenzumformungen waren, gilt mit der letzten auch die erste Aussage.

oder ähnlich anbringen müssen. Dann ist es in Ordnung.

Gestern 22:34 steht der gesamte I.-Schritt drin. Und selbst bei übersteigertem Berichtigungseifer ist die Bemerkung hinsichtlich Äquivalenz-U. bei einem solchen Beweis sowas von obsolet :O

Allerdings geht der Beweis auf die andere Art auch sehr einfach, das hab ich erst später gesehen. Insofern Asche aufs Haupt...

@jimmyt
Mein, ähm, 1. Hinweis, der es nur sein sollte, war wie gerade geschr. nicht so zwingend. Und hey wenn hier Politik betrieben werden soll, dann entscheide ich micht auch für die pinkfarbenen Krokos Big Laugh

Edit2 @10001000Nick. Beitrag unten
Hab ich hinter mir, keine Panik. Auch wenn wir nichts mit Krokos bewiesen haben, reicht die Notation im IS zu. Rest ist mir egal. Aber sorry dass ich nicht gleich gesehen hab worauf dein Ansatz abzielte.

28.11.2013, 21:43

10001000Nick1

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Wenn du meinst, dass eine solche Bemerkung zu Äquivalenzumformungen obsolet ist, dann weißt du leider nicht, was an einer Uni im Mathestudium gefordert wird. Wenn du da deinen Beweis ohne jede Bemerkung anbietest, ist das leider falsch.

28.11.2013, 22:10

Leopold

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Zitat:

Original von thk
IV:
$\begin{eqnarray*} 5^n+6^n<7^n \end{eqnarray*}$

IBeh:
$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}+6^{n+1}<7^{n+1} \end{eqnarray*}$

IBew:
$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}=5\cdot 5^n \end{eqnarray*}$ usw.

$\begin{eqnarray*} \color{red} 5\cdot 5^n+6\cdot 6^n<7\cdot 7^n | :7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{red} \frac{5}{7}\cdot 5^n+\frac{6}{7}\cdot 6^n < 7^n \end{eqnarray*}$
trivial, da 5/7<1 und 6/7<1 ist.

Entschuldige, wenn ich mosere. Aber die Zeilen stehen in der falschen Reihenfolge. Und daher ist dieser Beweis falsch. Auch ist nicht klar erkenntlich, wo die Induktionsvoraussetzung eingeht. Grautvornix zeigt später, wie es richtig geht.

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