Ausdrücke mit Summennotation schreiben

27.11.2013, 23:06

maf

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Ausdrücke mit Summennotation schreiben

Meine Frage:
Hallo,

Ich hoffe ich bin hier im richtigen Bereich gelandet.
Die Aufgabe lautet folgende Ausdrücke mit Summen-oder Produktnotation zu schreiben:

a.) 2 + 3/2 + 4/3 + 5/4 + 6/5
b.) 1 + 3x + 9x² + 27x³ + 81x^4
c.) 1/2 * 49!

Meine Ideen:
a.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=3}^6 2 + \frac{k}{k-1} \end{eqnarray*}$

Funktioniert das so mit der 2?
Also das ich dann habe: 2 + $\begin{eqnarray*} \frac{3}{3-1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{4}{4-1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{5-1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{6}{6-1} \end{eqnarray*}$
Oder würde die 2 jedes mal mit addiert werden?

b.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^4 1 + (3x)^k \end{eqnarray*}$
Hier wäre es dann: 1 + (3x)^1 + (3x)^2+ ... was doch dann zu dem gewünschten 3x + 9x² ... führen würde.
Wobei sich hier wieder die selbe Frage wie in der a mit der 1 stellt.

c.) Hier ist es eine Produktnotation von k=0 bis 48: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * (k+1) \end{eqnarray*}$
Hier wäre es dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ * (0+1) * (1+1) * (2+1) *...* (48+1)
Auch hier wieder die Frage ob das mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ klappt.

Vielen Dank schonmal für die Mühen.
lg

28.11.2013, 01:15

Dopap

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RE: Ausdrücke mit Summennotation schreiben
a.) $\begin{eqnarray*} 2+\sum\limits_{k=3}^6 \frac{k}{k-1} \end{eqnarray*}$ ist besser und richtig.

b.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^4 (3x)^k \end{eqnarray*}$ ist einfacher.

c.) $\begin{eqnarray*} \tfrac 12 \prod_{k=1}^{49}k \end{eqnarray*}$

28.11.2013, 12:47

maf

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Ok, vielen Dank!

Ich habe allerdings noch eine Aufgabe mit dem Summenzeichen, bei der ich mir nicht sicher bin:

Ein Fußballstadion umfasst 22 Sitzreihen.Die unterste hat 2000 Sitzplätze, je Sitzreihe kommen 200 Sitze mehr dazu.

a.) Wie viele Fans passen in die 18. Reihe?
b.) Wie viele Sitzplätze gibt es insgesamt?
c.) Wie viele Plätze gibt es in der günstigsten Preiskategorie (Reihe 12 bis 22)?

Hinweis: Verwenden Sie bei Ihren Berechnungen die entsprechenden Formenl für Folgen und Reihen.
Das bedeutet doch, dass ich das Summenzeichen benutzen soll, oder nicht?

Ich habe für die a.)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^1 2000+ (k-1) * 200 \end{eqnarray*}$
Obergrenze ist 18 nicht 1. Ich weis nicht wie ich da 2 Zahlen hinbekomme.

So würde es doch jetzt aussagen wie viele Sitzplätze es in den Reihen 1-18 zusammen gibt. Wäre es dann nur für Reihe 18:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=18}^1 2000+ (k-1) * 200 \end{eqnarray*}$
Obergrenze ist 18 nicht 1. Ich weis nicht wie ich da 2 Zahlen hinbekomme.

b.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^2 2000+ (k-1) * 200 \end{eqnarray*}$
Obergrenze ist 22 nicht 2. Ich weis leider nicht wie ich da 2 Zahlen hinbekomme.

und c.)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=12}^2 2000+ (k-1) * 200 \end{eqnarray*}$
Obergrenze ist 22 nicht 2. Ich weis nicht wie ich da 2 Zahlen hinbekomme.

lg

28.11.2013, 13:18

Dopap

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in LATEX setzt man eine unsichtbare Klammer mit "{" und "}"

Die Aufgabe beinhaltet nicht die Verwendung von Summenzeichen sondern tendiert mehr
zur Verwendung von Formeln zum k-ten Folgeglied, respektive zur Verwendung einer Summenformel.

Zitat:

Wäre es dann nur für Reihe 18:

a.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=18}^{18} (2000+ (k-1) * 200) \end{eqnarray*}$ = ... besser : Folgenglied k=18 )

b.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{22} (2000+ (k-1) * 200) \end{eqnarray*}$ (Summenformel !)

und c.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=12}^{22} (2000+ (k-1) * 200) \end{eqnarray*}$ (Summenformel !)

lg

28.11.2013, 15:09

maf

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Danke für die Antwort, leider verstehe ich nicht ganz was du meinst.

Ist die Summenformel $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ oder was genau meinst du damit?
Dafür müsste ich ja trotzdem das Summenzeichen verwenden nur dann zu:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} \end{eqnarray*}$ umformen.

28.11.2013, 15:21

Grautvornix

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RE: Ausdrücke mit Summennotation schreiben

Zitat:

Original von Dopap
a.) $\begin{eqnarray*} 2+\sum\limits_{k=3}^6 \frac{k}{k-1} \end{eqnarray*}$ ist besser und richtig.

Na ja, genaugenommen könnte man auch einfach

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^5\frac{k+1}k \end{eqnarray*}$

schreiben und wäre die separate 2 quitt.

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28.11.2013, 19:23

Dopap

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Ja, schön mitgedacht!

Ansonsten: es handelt sich um arithmetische Folgen, bei denen die Differenz der Folgeglieder konstant ist.

Und nicht um geometrische Folgen !

30.11.2013, 13:24

maf

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Sorry, dass ich so lange nicht geantwortet habe. Ich hab aus irgendeinem Grund keine E-Mail bekommen.

Ich glaube ich habe die Aufgabe dank deines Tipps jetzt gelöst.
Nochmal zur Kontrolle:

a.) $\begin{eqnarray*} a_{18} \end{eqnarray*}$ = 2000 + (18-1)*200 = 5400

b.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{22} 22*(2000 + \frac{(22-1) * 200}{2}) \end{eqnarray*}$ = 90200

c.) $\begin{eqnarray*} a_{12} \end{eqnarray*}$ = 2000 + (12-1) * 200 = 4200
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n-11} n-11*(4200 + \frac{(n-11-1) * 200}{2}) \end{eqnarray*}$

für n=22:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{11} 22-11*(4200 + \frac{(22-11-1) * 200}{2}) \end{eqnarray*}$ = 57200

Ich hoffe das stimmt jetzt alles. Danke nochmal für die Hilfe!
lg

30.11.2013, 13:52

Dopap

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du darfst nicht die Formel für die Summe hinter das Summenzeichen schreiben!
Dort darf nur das k-te Glied stehen, also im Prinzip beispielhaft so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k = \frac n 2 (n+1)= \cdots \end{eqnarray*}$

30.11.2013, 14:24

maf

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Zitat:

a.) $\begin{eqnarray*} a_{18} \end{eqnarray*}$ = 2000 + (18-1)*200 = 5400

b.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{22} a_{k} = 22*(2000 + \frac{(22-1) * 200}{2}) \end{eqnarray*}$ = 90200

Das wäre doch jetzt die richtige allgemein Form, oder nicht? Ich kann damit leider nicht viel anfangen.
Das a wäre doch die Menge der Sitzplätze in der jeweiligen Reihe und k dann die Reihe also: $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ = 1. Reihe = 2000 Sitzplätze.
Aber ich kann da ja wahrscheinlich nicht einfach $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ stehen lassen.

c.) $\begin{eqnarray*} a_{12} \end{eqnarray*}$ = 2000 + (12-1) * 200 = 4200
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n-11} a_{k} = n-11*(4200 + \frac{(n-11-1) * 200}{2}) \end{eqnarray*}$

für n=22:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{11} a_{k} = 22-11*(4200 + \frac{(22-11-1) * 200}{2}) \end{eqnarray*}$ = 57200

30.11.2013, 14:36

Dopap

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das a_k kannst du schon stehen lassen, wenn du das a_k vorher hingeschrieben hast.

Bei Unklarheiten das k-te Glied eben ausschreiben:

b.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{22} (2000 + (k-1)*200 ) = 22*(2000 + \frac{(22-1) * 200}{2}) \end{eqnarray*}$ = 90200

30.11.2013, 14:50

maf

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Zitat:

wenn du das a_k vorher hingeschrieben hast.

Wie meinst du das?

Wie wäre es dann bei der c.)?

c.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=12}^{22} (2000+ (k-1) * 200) = 22-11*(4200 + \frac{(22-11-1) * 200}{2}) \end{eqnarray*}$ = 57200 ?

Weil ich nicht:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{11} (2000+ (k-1) * 200) = 22-11*(4200 + \frac{(22-11-1) * 200}{2}) \end{eqnarray*}$ = 57200
schreiben kann, da das Ergebnis dann nicht mehr stimmt.

30.11.2013, 15:27

Dopap

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wie schaut denn bei dir die Summenformel aus ?

Ich verwende: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=j}^n a_k=\frac n 2 (a_j+a_n) \qquad \Rightarrow \end{eqnarray*}$

c.)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=12}^{22} a_k=\frac {22} 2 (a_{12}+a_{22}) \end{eqnarray*}$

den Index darfst du nicht verschieben, damit wäre eine andere Summe gemeint.

30.11.2013, 15:47

maf

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Bei mir steht in der Formelsammlung bei der arithmetischen Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k = n ( a_1 + \frac {(n-1)d} 2) \end{eqnarray*}$

c.)

Ich habe dann die Unter-und Obergrenze um 11 verschoben, damit die Untergrenze 1 ist. Was ich für die Formel brauche.
In der allgemeinen Form dann:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-11} a_k = n-11 ( a_1 + \frac {(n-11-1)d} 2) \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ habe ich 4200 gewählt was der 12. Reihe entspricht.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{11} a_k = 11 (4200 + \frac {(11-1)200} 2) \end{eqnarray*}$
Hier stimmt dann das Ergebnis. (57200)

c.)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=12}^{22} a_k=\frac {22} 2 (a_{12}+a_{22}) \end{eqnarray*}$

Würde doch dann 114400 ergeben, also das doppelte vom eigentlichen Ergebnis.

Danke das du dir hier so viel Zeit nimmst!

30.11.2013, 16:26

Dopap

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c.)

Da habe ich mich mit dem n vertan also so: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=j}^{n} a_k=\frac {n-j+1} 2 (a_{j}+a_{n}) \end{eqnarray*}$

oder speziell: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=12}^{22} a_k=\frac {22-12+1} 2 (a_{12}+a_{22}) \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es richtig sein.
Wenn du deine Formel verwenden willst, dann so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=12}^{22}a_k= \sum_{k=1}^{22}a_k-\sum_{k=1}^{11}a_k \end{eqnarray*}$

30.11.2013, 16:39

maf

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Ja, jetzt stimmts mit beiden Formeln.
Danke!

30.11.2013, 16:57

Dopap

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ein solches Ringen um das Ergebnis samt Fehlern bringt mehr wie fertige Lösungen!

Dann bis zum nächsten Mal Wink

Wink

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