Gruppenaxiome überprüfen

28.11.2013, 13:53	Primel	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenaxiome überprüfen Meine Frage: Hallo zusammen ich habe eine nichtleere Menge M und ihre Potenzmenge P(X) sowie folgende Verknüpfung: $\begin{eqnarray} + : P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)<br /> (X,Y) \mapsto (X\cup Y)- (X\cap Y) \end{eqnarray}$ Nun soll ich zeigen, dass das eine Gruppe ist. Das mache ich ja, indem ich zeige, dass die Gruppenaxiome erfüllt sind. Nun habe ich aber Probleme damit, beispielsweise die Assoziativität zu zeigen, da ich nicht weiß, welche Elemente man dafür in diesem Fall nimmt. Meine Ideen: Die Assoziativität einer additiven Verknüpfung würde man ja mit $\begin{eqnarray} (a+ b)+ c = a + (b+ c) \end{eqnarray}$ zeigen, aber was sind meine a,b,c in der oben genannten Verknüpfung? Schonmal vielen Dank für eure Hilfe!!!
28.11.2013, 14:00	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenaxiome überprüfen Das sind Elemente der Potenzmenge P(X). Das sagt doch schon die Definition der Verknüpfung "+".
28.11.2013, 14:06	Primel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenaxiome überprüfen Also muss ich folgendes zeigen..? $\begin{eqnarray} ((X\cup Y)- (X\cap Y)+ (A\cup B)- (A\cap B))+ (C\cup D)- (C\cap D) = (X\cup Y)- (X\cap Y)+((A\cup B)- (A\cap B)+(C\cup D)- (C\cap D)) \end{eqnarray}$
28.11.2013, 14:18	Primel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenaxiome überprüfen Also zwei Elemente X,Y werden ja so verknüpft: $\begin{eqnarray} (X\cup Y)- (X\cap Y) \end{eqnarray}$ Aber wie verknüpfe ich jetzt damit ein drittes Element Z?
28.11.2013, 14:21	mengi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es werden hier niemals drei Elemente miteinander verknüpft. Immer nur jeweils zwei. $\begin{eqnarray} (A+B)+C=((A\cup B)-(A\cap B) )+C=... \end{eqnarray}$ Und daruf jetzt wieder die Def. von + anwenden.
28.11.2013, 14:27	Primel	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaah, jetzt wird mir einiges klar! Danke!!!
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28.11.2013, 14:58	Primel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun hänge ich aber bei einer Umformung fest: Also ich will ja zeigen, dass (X+Y)+Z=X+(Y+Z) Ich hab von rechts und von links angefangen, die Klammern aufzulösen, aber in der Mitte bekomme ich die beiden Seiten nicht zusammengeflickt.. $\begin{eqnarray} (X\cup Y\cup Z)+ (X\cap Y\cap Z)- (X\cap Y)\cup Z- (X\cup Y)\cap Z= (X\cup Y\cup Z)+ (X\cap Y\cap Z)- X\cup (Y\cap Z)- X\cap (Y\cup Z) \end{eqnarray}$ Wie krieg ich denn jetzt jeweils die beiden letzten Subtrahenden gleich?

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