Frage zum Nabla Operator

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28.11.2013, 18:50	galileogalile	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Nabla Operator Ist der Nabpla-Op. dasselbe wie der Gradient eines Vektorfeldes ?
28.11.2013, 19:05	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, $\begin{eqnarray} \vec{\nabla} A \end{eqnarray}$ = Gradient von A $\begin{eqnarray} \vec{\nabla} \cdot \vec{A} \end{eqnarray}$ = Divergenz des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec{A} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{\nabla} \times \vec{A} \end{eqnarray}$ = Rotation des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec{A} \end{eqnarray}$ Ich setze voraus, dass du die begriffe kennst Gruß
28.11.2013, 19:59	galileogalile	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erst einmal! Bei mir geht es um folgenden Vektorfeld: $\begin{eqnarray} \vec{F}= \begin{pmatrix} a\\ bx\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich muss nämlich die Rotation hiervon berechnen. Ich habe es so verstanden, dass wenn ich komponenterweise (1. Komponente nach x, zweite nach y, dritte nach z) ein Skalarfeld differenzier, das entstandene neue der Gradient ist. Wobei das hier glaube ich unwichtig ist oder ? Da ich ja ein Vektorfeld gegeben habe. Die Divergenz bekomme ich heraus indem ich komponentenweise mein Vektorfeld nach den jeweiligen Variablen (1. Zeile nach x, 2. nach y, ...) differenzier und diese dann als gemeinsam summiere. Ich habe aber immer noch nicht verstanden, sofern das richtig ist, wie ich auf die Rotation komme eines Vektorfelds .... Ich finde in meiner Formelsammlung jediglich nur Formeln zur Berechnung des Gradienten des Skalarfeldes und der Divergenz des Vektorfeldes. Zur Rotation finde ich das gleiche was du nennst. Leider weiss ich aber nicht wie ich auf den Nabla Operator komme. Kreuzprodukt mit Ausgangs Vektorfeld sollte kein Problem sein ...
28.11.2013, 20:17	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich gehe davon aus, dass mit $\begin{eqnarray} \vec{F} \end{eqnarray}$ einVektorfeld in 2 Dimensionen gemeint ist. Wir machen das mal ganz allgemein. Die Rotation in n-Dimensionen ist ja (rechnerisch gesehen) nichts anderes, als das Kreuzprodukt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \partial x \\ \partial y \\ \partial z \\ ... \\ \partial n \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eines Vektors in n Dimensionen. Wir befinden uns hier in drei (Edit! Wichtige Anderung) Dimensionen... Hilft dir das weiter? Gruß, thechus
28.11.2013, 20:34	galileogalile	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das hilft mir schon etwas weiter und ja es handelt sich um ein zweidimensionales Vektorfeld. Aber was wird mit a1,a2,... gemeint ? Und die linke Seite, das sind nur die Zeilenkomponenten meines Vektorfeldes und keine Ableitungen nach einer Variable stimmts ? Bin mir etwas unsicher ...
28.11.2013, 20:42	galileogalile	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ... Ich muss einfach den Nabla Operator (Hier deltax und delta y, da zwei Dimensionales Vektorfeld) als Kreuzprodukt mit meinem Ausgangsvektorfeld nehmen. Dann habe ich ein neues Vektorfeld was mach ich dann damit ?
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28.11.2013, 20:44	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ganz richtig. Alles, was dann noch fehlt, ist, den Richtungsvektor des neuen Vektorfeldes zu bestimmen. Gruß,
28.11.2013, 20:47	galileogalile	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey danke! d.h. glaube ich meine komponenten einzeln partiell differenzieren oder? also 1. komponente nach x, zweite nach x.. und das wärs ?
28.11.2013, 20:59	galileogalile	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme auf b-0 ist das richtig ??? D.h. es wär kein konservatives/wirbelfreies Vektorfeld da ungleich Null oder ?? Ich soll nämlich entscheiden ob es konservativ/wirbelfrei ist oder nicht
28.11.2013, 21:02	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, nein, ich komme auf was anderes. Ich würde dir mal raten, das ganze ordentlich aufzuschreiben. Vorausgesetzt, du bildest das Kreuzprodukt richtig, solltest du dann auf das richtige Ergebnis kommen. Bedenke weiterhin: Du befindest dich immernoch in 3 Dimensionen auch, wenn dein Vektorfeld nur in 2 Dimensionen wirkt. Gruß
28.11.2013, 21:06	galileogalile	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke nochmals! Das mit den drei Dimensionen habe ich nicht beachtet. Wie kann ich das den verstehen? Ich habe nämlich nur das Kreuzprodukt (delta/deltax,delta/deltay) X (a,bx) gebildet. Was wäre den die dritte Komponente oder wie kann ich das verstehen ?
28.11.2013, 21:17	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, damit ist gemeint, dass das Vektorfeld nach der Bildung der Rotation immer noch eine Richtung senkrecht zum Vektorfeld hat. Das ist aber ein wenig von der Aufgabe abhängig. Wenn du komplett im 2-Dimensionalen Raum bist ist das natürlich nicht möglich, das es diese senkrechte Raumrichtung nicht geben würde. Dann ist aber auch die Rotation anders definiert - davon gehe ich nicht aus. Zurück zum eigentlichen Problem: Du hast vom Prinzip das richtige da stehen. Nur has du denke ich bloß das Kreuzprodukt falsch gebildet Gruß
28.11.2013, 21:25	galileogalile	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm wenn das nicht ricgtig ist dann weiss ich auch nicht weiter ..... Kannst du mir bitte die Allgemeine Formel nennen für dieses Beispiel. Es geht eig um folgende Aufgabe falls es dichinteressiert xd Ein Teilchen bewege sich in einem Kraftfeld (Hab ich oben genannt) von einem Punkt P1= (4, 1) zu einem Punkt P2 = (4, 4). Prufe ob es ein konservatives/wirbelfreies kraftfeld ist Das kann ich ja einfach überprüfen indem ich schaue ob die rotation des Vektorfeldes Null ergibt, also ganz normal so wie ich vorgehen wollte oder? Also die Punkte kann ich vollkommen ignorieren .... Mir fällt aber gerade ein das ich auch einfach das Kurvenintegral berechnen könnte oder? 1. Semestriger Student. Hab noch paar Probleme mit der neuen Mathematik ...
28.11.2013, 21:48	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, kein Ding jeder fängt mal an. Ich schreib dir das mal hin: Ein Vektorfeld in Drei Dimensionen kann man umschreiben in: $\begin{eqnarray} \vec{F}(x,y,z) = {F}_{x}(x,y,z)\vec{{e}_{x}} + {F}_{y}(x,y,z)\vec{{e}_{y}} + {F}_{z}(x,y,z)\vec{{e}_{z}} = \begin{pmatrix} {F}_{x} \\ {F}_{y} \\ {F}_{z} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Entsprechen in 2 Dimensionen: $\begin{eqnarray} \vec{F}(x,y,z=0) = {F}_{x}(x,y)\vec{{e}_{x}} + {F}_{y}(x,y)\vec{{e}_{y}} = \begin{pmatrix} {F}_{x} \\ {F}_{y} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bilde davon jetzt die Rotation in 2 Dimensionen: $\begin{eqnarray} rot\vec{{F}_{x,y}} = \begin{pmatrix} \partial x \\ \partial y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {F}_{x} \\ {F}_{y} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, dass berechne ich immer mit der "Finger-Regel". Will ich die x-Komponente des neuen Vektorfeldes berechnen, decke ich die 1. Zeile (die x-Zeile) der beiden Vektoren mit den Fingern zu und bilde die entsprechen Produkte mit Summe über Kreuz (google das sonst mal -- ist so schwer zu erklären). Man bekommt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \partial x \\ \partial y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {F}_{x} \\ {F}_{y} \end{pmatrix} = (\frac{ \partial {F}_{y} } {\partial x} - \frac{ \partial {F}_{x} } {\partial y}){\vec{e}}_{z} \end{eqnarray}$ Und weil wir uns wie es nach der Aufgabe Aussieht woch doch nur in 2 Dimensionen befinden fällt das $\begin{eqnarray} {\vec{e}}_{z} \end{eqnarray}$ einfach weg. Gruß
28.11.2013, 21:59	galileogalile	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank für die sehr ausführliche Antwort!!! Ich habe da mal eine Frage. Ich komme auch auf folgenden Term: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \partial x \\ \partial y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {F}_{x} \\ {F}_{y} \end{pmatrix} = (\frac{ \partial {F}_{y} } {\partial x} - \frac{ \partial {F}_{x} } {\partial y}){\vec{e}}_{z} \end{eqnarray}$ Jedoch ohne dem Einheitsvektor ex. Woher kommt der ? Und wenn ich Fy nach x differenzier bekomm ich b heraus und wenn ich Fx nach y differenzier bekomm ich 0 heraus, dann sollte da (b-0)ex stehen .... Wo ist den mein Fehler?
28.11.2013, 22:04	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, haha du hast keinen Fehler Ich hab das Vektorfeld falschherum notiert gehabt Tut mir leid... Das e_z kommt daher, dass ein KReuzprodukt immer einen neuen Vektor hervorbringt. Dieser neue Vektor steht immer senkrecht auf den Vektoren, mit denen er gebildet wurde. Weil du aber nur in 2 Dimensionen hantiert, kann es kein e_z geben. Oh man tut mir leid Gruß
28.11.2013, 22:11	galileogalile	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey vielen dank! Eine letzte Frage: Wenn dann aus meinem Gegeben Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec{F}= \begin{pmatrix} a\\ bx\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Rotation b beträgt, dann kann es kein wirbelfreies/konservatives Feld sein oder ? Weil es ja schließlich ungleich Null ist. Auch die genannten Punkte der Aufgabe "Ein Teilchen bewege sich in einem Kraftfeld (Hab ich oben genannt) von einem Punkt P1= (4, 1) zu einem Punkt P2 = (4, 4). Prüfe ob es ein konservatives/wirbelfreies kraftfeld ist" sind unwichtig. Den wenn die Rotation ungleich Null ist kann es nicht wirbelfrei/konservativ sein ? Und noch eine letzte Frage. Alternativ könnte ich das Kurvenintegral auch wie folgt berechnen oder: Ich erstelle mithilfe den zwei genannten Punkten eine Gerade in Parameterdarstelung und nutze das Kurvenintegral 1. Art mithilfe meines Ausgangsfeldes. Das Ergebnis müsste ungleich 0 sein, den wenn es Null wäre müsste auch die Rotation Null ergeben ?
28.11.2013, 22:18	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig
28.11.2013, 22:20	galileogalile	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, ich danke dir wirklich vielmals!! Hast mir sehr geholfen

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