Erwartungswert berechnen

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28.11.2013, 20:19	WiMa3	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert berechnen Meine Frage: Hallo Ich habe eine Schwierigkeiten mit einer Übungsaufgabe aus der Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie. Leider kenn ich mich mit Latex nicht so aus, ich hoffe ihr versteht trotzdem was ich meine. Die Aufgabe ist, Erwartungswerte ausrechnen. E[X^5], wobei X ~ B_1,p verteilt ist. Meine Ideen: Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist ja np. Außerdem haben wir den Erwartungswert so definiert: X hat endlichen Erwartungswert :<=> $\begin{eqnarray} X \in \c{L}_1(\mu) \end{eqnarray}$ , also X $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ von der Menge der $\begin{eqnarray} "\mu-integrierbaren" \end{eqnarray}$ Funktionen. $\begin{eqnarray} => E_p[X] := \int_{\varOmega} XdP \in \mathbb R = \int_{\mathbb R } xdP^x = E[P^x]<br /> \end{eqnarray}$ Ich hätte das jetzt so gemacht: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{0}^1 x^5 * 1* p \end{eqnarray}$ , weil ja $\begin{eqnarray} p \in [0,1] ist \end{eqnarray*}$ . Aber das kann ja auch irgendwie nicht sein... Kann mir irgendwer von euch weiterhelfen? Das wär echt supi! Vielen Dank schon mal im Voraus!
28.11.2013, 20:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, mit $\begin{eqnarray} B_{n,p} \end{eqnarray}$ meinst du die Binomialverteilung. Wegen $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ daher eine Bernoulli-Größe: $\begin{eqnarray} P(X=0) = 1-p \, , \ \ P(X=1) = p \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} \int_{\Omega} X ~ \dd P \end{eqnarray}$ liegt ein sehr allgemeiner Integralbegriff zugrunde, das läuft nicht unbedingt auf das hinaus, was du in der Schule als reelles Integral kennengelernt hast. Man könnte fast meinen, du hast die Vorlesung nicht besucht ... Wollen wir nicht schimpfen! Wenn eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nur endlich viele Werte $\begin{eqnarray} x_0,x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray}$ annimmt, dann ist $\begin{eqnarray} \mathcal{E}[X] = \sum_{k=0}^n x_k \cdot P(X=x_k) \end{eqnarray}$ Hier ist die Sachlage besonders einfach. Denn welche Werte nimmt $\begin{eqnarray} Y = X^5 \end{eqnarray}$ nur an? Und mit welcher Wahrscheinlichkeit?
29.11.2013, 12:53	WiMa3	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich hab die Vorlesung sehr wohl besucht...ich wollte einfach noch dazu schreiben wie wir in der Vorlesung den Erwartungswert definiert haben. Wir haben das alles sehr schnell durchgenommen und auch keine Beispiele dazu gemacht. Aber ich weiß immer noch nicht welchen wert Y=X^5 annehmen kann, kannst du da vielleicht noch ein bisschen konkreter werden? Das wäre wirklich nett!
29.11.2013, 13:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal: Wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nur die Werte 0 und 1 annehmen kann - welche Werte kann dann $\begin{eqnarray} X^5 \end{eqnarray}$ nur annehmen? Konkreter geht's kaum.
29.11.2013, 13:57	WiMa3	Auf diesen Beitrag antworten »
ja dann kann X^5 auch nur die Werte 0 und 1 annehmen...
29.11.2013, 14:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist's. Es gibt also nur zwei Werte: $\begin{eqnarray} x_0 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_1 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{E}[X^5] = \sum_{k=0}^1 k \cdot P(X^5=k) = 0 \cdot P(X^5=0) + 1 \cdot P(X^5=1) = P(X^5=1) \end{eqnarray}$ Und jetzt mußt du nur noch eine Wahrscheinlichkeit bestimmen.
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29.11.2013, 14:09	WiMa3	Auf diesen Beitrag antworten »
Und die Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray} P(X^5=1)=p \end{eqnarray}$
29.11.2013, 14:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Weil ja $\begin{eqnarray} X^5 = 1 \end{eqnarray}$ genau dann gilt, wenn $\begin{eqnarray} X=1 \end{eqnarray}$ .
29.11.2013, 14:16	WiMa3	Auf diesen Beitrag antworten »
oki super danke
30.11.2013, 19:05	WiMa3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte noch eine Frage zu einer anderen Teilaufgabe dieser Übung. Und zwar: $\begin{eqnarray} E[e^x], wobei X ~ Exp_\lambda und \lambda > 1 \end{eqnarray}$ Also die Formel für E[X] ist das Integral von xf(x) über den Definitionsbereich von X. Ich hab jetzt mal so angefangen: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty }^{\infty } x\lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \int_{1 }^{\infty} e^{x} e^{-\lambda x} = \lambda [\frac{1}{\lambda-1 }(-e^{-\left(\left(\lambda -x\right)x\right)}]_{1}^{\infty } \end{eqnarray*}$ Aber jetzt weiß ich nicht wie ich das berechnen soll... kann mir da jemand weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus!
30.11.2013, 19:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dichte $\begin{eqnarray} \lambda e^{-\lambda x} \end{eqnarray}$ trifft auf ganz $\begin{eqnarray} [0,\infty) \end{eqnarray}$ zu. Wieso integrierst du nur über $\begin{eqnarray} [1,\infty) \end{eqnarray}$ ? P.S.: Und in der Stammfunktion ist im Exponenten auch so einiges schiefgegangen.
30.11.2013, 21:12	WiMa3	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, da hab ich mich vertan... und beim exponenten mein ich natürlich $\begin{eqnarray} <br /> -e^{-\left( \left(\lambda-1\right)x \right)} <br /> \end{eqnarray}$

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