Summe über Cosinus

28.11.2013, 21:33

Shalec

Summe über Cosinus

Hallo, ich würde gerne folgende Gleichung beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n cos(k\cdot t) = \frac{1}{2}\cdot \left( cos(tn) + \frac{cos(\frac{t}{2})}{sin(\frac{t}{2})}\cdot sin(tn) -1 \right) \end{eqnarray*}$

gibt es da einen gewissen Trick, womit ich hier die Gleichheit folgern kann?

Viele Grüße und vielen Dank schonal

28.11.2013, 22:06

Guppi12

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Hallo,

Du kannst das zum Beispiel mit Induktion zeigen.

Alternativ kannst du auch diesen Weg gehen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \cos(kt) = \sum_{k=1}^n \mathrm{Re}(e^{ikt}) = \mathrm{Re}\left(\sum_{k=1}^n e^{ikt}\right) = \mathrm{Re}\left(\sum_{k=1}^n \left(e^{it}\right)^k\right) = \dots \end{eqnarray*}$

(Das ist aber nicht unbedingt schneller)

Vielleicht gibt es auch noch mehr Wege smile

29.11.2013, 14:31

Shalec

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Zitat:

Original von Guppi12
Hallo,

Du kannst das zum Beispiel mit Induktion zeigen.

Alternativ kannst du auch diesen Weg gehen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \cos(kt) = \sum_{k=1}^n \mathrm{Re}(e^{ikt}) = \mathrm{Re}\left(\sum_{k=1}^n e^{ikt}\right) = \mathrm{Re}\left(\sum_{k=1}^n \left(e^{it}\right)^k\right) = \dots \end{eqnarray*}$

(Das ist aber nicht unbedingt schneller)

Vielleicht gibt es auch noch mehr Wege smile

Eine induktion ist hier furchtbar. Ich hatte schon überlegt den cos als e-funktion darzustellen und dann die summe aufzuspalten..

Dann hätte ich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \left(e^{it}\right)^k -\sum_{k=1}^n \left(e^{-it}\right)^k\ \end{eqnarray*}$ und könnte hier mal gucken, was mir die geometrische folge hier bringt.

29.11.2013, 14:42

Guppi12

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Zitat:

Eine induktion ist hier furchtbar.

Ich denke nicht, dass du es viel einfacher bekommt Augenzwinkern

Ich habe beide Wege probiert und es nimmt sich nicht viel.

29.11.2013, 15:59

riwe

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forme die rechte seite um in

$\begin{eqnarray*} ...=\frac{1}{2\cdot sin\frac{t}{2}}\cdot sin(n+\frac{1}{2})t-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

(auch) damit läßt sich die behauptung einfach mit VI und den bekannten trigonometrischen summenformeln beweisen

01.12.2013, 20:01

Shalec

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Mein Ziel war es egtl. folgendes zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} sin(t/2) \cdot \sum\limits_{k=-n}^{n}e^{ikt} =sin(t(n+1/2)) \end{eqnarray*}$

ich dachte mir, dass es einfacher ist, zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n cos(k\cdot t) = \frac{1}{2}\cdot \left( cos(tn) + \frac{cos(\frac{t}{2})}{sin(\frac{t}{2})}\cdot sin(tn) -1 \right) \end{eqnarray*}$

da dies für t=1 gilt. Wenn ich dies gehabt hätte, dann könnte ich nämlich mit Leichtigkeit (4 Zeilen) die rechte Seite folgern. Nun habe ich aber einen anderen Weg gewählt und obiges sofort gezeigt. Ich vermute, dass der Umfang/Aufwand hier nicht signifikant geringer/größer gewesen wäre.

Viele Grüße und vielen Dank.

Btw. sehr hilfreich war hier die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} 1-cos(x) = 2sin^2(x/2) \end{eqnarray*}$ ist, als triviale Folgerung aus dem trigonometrischen Pythagoras.

02.12.2013, 11:29

riwe

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bei mir snd´s auch nicht mehr als 3 zeilen Augenzwinkern

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