Gleichheit von Integralen (Maßtheorie)

29.11.2013, 09:55

steviehawk

Gleichheit von Integralen (Maßtheorie)

Meine Frage:
Hallo Leute, folgende Aufgabe möchte ich gerne lösen:

Seien $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},\mu) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \sigma - \end{eqnarray*}$ endlicher Maßraum. Das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ das Lebesgue - Maß auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb R , \mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: \Omega \to [0,\infty) \end{eqnarray*}$ eine messbare Funktion. Man zeige, dass:

$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega} f d\mu = \int_{(0,\infty)} \mu(\{f>t\}) d\lambda(t) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also ich habe mal bisschen versucht, aber nicht wirklich was hinbekommen. Was sigma - endlich heißt weiß ich. Es gibt also eine Folge $\begin{eqnarray*} \Omega_n \end{eqnarray*}$ die gegen $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ kovergiert. Und es gilt $\begin{eqnarray*} \mu(\Omega_n) < \infty \end{eqnarray*}$ . Daher dachte ich fange mal mit:

$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega} f d \mu = \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega_n} f d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega} 1_{\Omega_n} f \ d\mu \dots \end{eqnarray*}$

Hat mir jemand einen Tipp wie es weiter gehen könnte? Oder mal erklären, was das rechte Integral ganz oben eigentlich wirklich macht??

Danke vielmals

EDIT: Hat wirklich keiner einen Tipp für mich? Würde mich sehr freuen smile

Gruß Stevie

02.12.2013, 10:30

steviehawk

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RE: Gleichheit von Integralen (Maßtheorie)
Hat mir noch jemand einen Tipp, wie ich das angehe, oder unter welchen Stichwort ich vielleicht etwas bei google finden könnte? Danke Wink

02.12.2013, 10:45

EinGast

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RE: Gleichheit von Integralen (Maßtheorie)
man kann $\begin{eqnarray*} \mu(\{f>t\}) \end{eqnarray*}$ als Integral schreiben, und dann Fubini anwenden

02.12.2013, 10:59

steviehawk

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RE: Gleichheit von Integralen (Maßtheorie)
Hallo super schon mal vielen Dank, in die Richtung habe ich gerade mal bisschen was versucht. Ich habe:

$\begin{eqnarray*} \mu(\{f>t\}) ) = \int_{\Omega} 1_{\{f>t\}} d\mu \end{eqnarray*}$ dies ist jedenfalls erlaubt, da $\begin{eqnarray*} \{ f>t\} \end{eqnarray*}$ durch die messbare Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gesichert, wirklich eine messbare Menge ist.

Ich erhalte dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{(0,\infty)} \mu(\{f>t\}) \ d\lambda(t) = \int_{(0,\infty)} \int_{\Omega} 1_{\{f>t\}} d\mu \ d \lambda (t) \stackrel{Fubini}{=} \int_{\Omega} \int_{(0,\infty)} 1_{\{f>t\}} \ d \lambda (t) \ d\mu \end{eqnarray*}$

Rein von der Logik der Aufgabe, müsste ja jetzt gelten:

$\begin{eqnarray*} f = \int_{(0,\infty)} 1_{\{f>t\}} \ d\lambda(t) \end{eqnarray*}$ beziehungsweise für $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(\omega) = \int_{(0,\infty)} 1_{\{f>t\}}(\omega) \ d\lambda(t) \end{eqnarray*}$

das verstehe ich jetzt noch nicht genau, warum dies wirklich so ist verwirrt

EDIT: Ich habe gerade folgendes gelesen:

Ist $\begin{eqnarray*} f\geq 0 \end{eqnarray*}$ eine messbare numerische Funktion, so existiert eine monoton wachsende Folge einfacher Funktionen $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (f_n) \to f \ (n \to \infty) \end{eqnarray*}$

damit müsste man es doch hinbekommen oder?

02.12.2013, 11:11

EinGast

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RE: Gleichheit von Integralen (Maßtheorie)

Zitat:

Original von steviehawk

$\begin{eqnarray*} f(\omega) = \int_{(0,\infty)} 1_{\{f>t\}}(\omega) \ d\lambda(t) \end{eqnarray*}$

das verstehe ich jetzt noch nicht genau, warum dies wirklich so ist

wie sieht denn die Funktion $\begin{eqnarray*} 1_{\{f>t\}}(\omega) \end{eqnarray*}$ aus? (als Funktion von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ bei festem $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ )

02.12.2013, 11:17

steviehawk

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RE: Gleichheit von Integralen (Maßtheorie)
$\begin{eqnarray*} 1_{\{f>t\}}(\omega) = \begin{cases} <br /> 1 & w \in \{f>t\} \Leftrightarrow f(w) > t \\ <br /> 0 & w \notin \{f>t\} \Leftrightarrow f(w) \leq t \\<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

oder habe ich jetzt festes t und variables $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ gemacht?

02.12.2013, 11:23

EinGast

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RE: Gleichheit von Integralen (Maßtheorie)
ist richtig. dh die Funktion ist 1 im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,f(\omega)) \end{eqnarray*}$ , und 0 in $\begin{eqnarray*} [f(\omega),\infty) \end{eqnarray*}$ . Was kommt also heraus, wenn man diese Funktion integriert von 0 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?

02.12.2013, 11:28

steviehawk

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RE: Gleichheit von Integralen (Maßtheorie)
natürlich $\begin{eqnarray*} f(\omega) \end{eqnarray*}$

02.12.2013, 11:32

EinGast

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RE: Gleichheit von Integralen (Maßtheorie)
ja, so ist es.

02.12.2013, 11:38

steviehawk

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RE: Gleichheit von Integralen (Maßtheorie)
Super vielen Dank!!!! Freude