Stetigkeit zeigen /Definitionsbereich bestimmen

29.11.2013, 14:45	WiederDa	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit zeigen /Definitionsbereich bestimmen Hey, ich habe hier zwei Aufgaben, habe aber irgendwie keine genaue Idee wie ich die rechne. D->R $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^2-1-\|x+1\|}{x+1} \end{eqnarray}$ Und hiervon muss ich $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} f(x); \lim_{x \to -\infty } f(x); \lim_{x \to -1^+ } f(x); \lim_{x \to -1^- } f(x) \end{eqnarray}$ berechnen. Wobei ich schon nicht genau weiß, was das ^+ bedeuted. Ich habe mir, die Stetigkeit so gemerkt, dass ich praktisch von links zum x0 und von rechts nach x0 gehe. Wenn ich jetzt aber habe -1^+, heißt, dass dann,das ich einfach nur von +unendlich nach -1 gehe? Naja meine Ansätze: Für x<0...Für x>0 $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} f(x)= \frac{0-1-1}{1} =-2 = \lim_{x \to 0} f(x)=-2 \end{eqnarray}$ Und wenn ich dann den "kritischen" Punkt 0 einsetze komme ich auch auf -2, also ist das mal stetig. Obwohl ich nicht ganz sicher bin wegen dem Betrag, wenn ich von x<0 komme. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty } f(x) \end{eqnarray}$ Man sieht, dass der Zähler stets größer ist als der nenner und gehe daher davon aus, dass es unendlich ist. Oder soll ich hier noch rumkürzen wie bei Folgen? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -1^+ } f(x) \end{eqnarray}$ Ich komme von der rechten Seite wodurch ich noch x^2-1/(x+1) stehen habe. Wenn ich jetzt noch mit 1/x dividiere komme ich auf 1. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -1^- } f(x) \end{eqnarray}$ Macht das Minus jetzt hier irgendeinen unterschied? Klar ich komme von links aber für -1 kommt ja trotzdem der gleiche Wert wie oben raus. Imo, ist die gesamte Funktion stetig. 4.) Für welche a€R ist x0=-1 stetig? f(x)= {(ax)^2+3x-1, für x<= -1 3x^3 + 2x^2 - a für x>-1} Wie mache ich hier eine große geschwungene Klammer in Latex? Ich habe irgendwie keinen Ansatz dafür. Ich habe zwar mal für die einzelnen Terme \|f(x)-f(x0)\| angewandt, womit ich aber überhaupt nicht weiterkomme.
29.11.2013, 15:16	Till1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, das $\begin{eqnarray} x_0^+ \end{eqnarray}$ heißt, dass du dich mich größeren Werten näherst, also von oben, analog für das Minus. Das hast du also schon gut erkannt. Bei dem Rest, würde ich einfach die $\begin{eqnarray} \epsilon - \delta \end{eqnarray}$ -Kriterium benutzen und das entsprechende $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ bennen. Schöne Grüße Till
29.11.2013, 19:10	WiederDa	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke. Heißt das, dass mein erstes Beispiel stimmt? Und die Funktion stetig ist? Ja, mit dem Epsilon-Delta Kriterium habe ich es ja schon versucht, weiß aber nicht wie weiter. Ich weiß vorallem nicht wie genau Epsilon und Delta zusammenspielen. für x<=-1 \|f(x)-f(x0)\|= \|(ax)^2+3ax-1-((ax0)^2+3ax0-1)\| =....= \|a^2*(x^2-x0^2)+3a(x-x0)\| So und hier weiß ich schon nicht weiter. Das einzige was ich noch gefunden habe ist, dass ich das Delta in Abhängigkeit von Epsilon ausdrücken muss, wobei ich diesen Schritt schon bei den meisten BSp nicht verstehe. Das einzige was ich hier noch sehe ist, dass ich (x-x0) durch delta ausdrücken kann. Wie soll ich weitermachen?
30.11.2013, 22:03	WiederDa	Auf diesen Beitrag antworten »
Also hat keiner eine Idee? Ist zumindest mein Ansatz richtig, dass ich für die beiden Fallunterscheidungen einzeln rechne?

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