Grenzwert mit e-Funktion

29.11.2013, 17:07

Squashist

Grenzwert mit e-Funktion

Hi,

Berechne:

$\begin{eqnarray*} lim_{x\to\infty} (x^a * e^{-x}) \end{eqnarray*}$ (ohne Hospital!)

Ich dachte daran, die Exponentialdarstellung von e zu nutzen.

$\begin{eqnarray*} e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Damit dürfte dann
$\begin{eqnarray*} e^x > \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ sein - ?

Und weiterhin hätte ich noch a < n gesetzt - darf ich das? Denn so komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{x^a}{e^x} < \frac{x^n}{e^x} < \frac{x^n*n!}{x^n} = n! \end{eqnarray*}$ verwirrt

Eigentlich wollte ich nach oben gegen Null abschätzen, dann den Einschließungssatz nutzen..

29.11.2013, 17:37

Jolly Roger

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RE: Grenzwert mit e-Funktion
erstmal ist der Befehl für 'mal' \cdot
und dann kannst außerdem schreiben $\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{x\to\infty}x^a}{\lim_{x\to\infty}e^{x}} \end{eqnarray*}$

29.11.2013, 17:42

Squashist

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Und was bringt mir das? verwirrt

29.11.2013, 18:18

Jolly Roger

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RE: Grenzwert mit e-Funktion
wie es immer so schön gesagt wird die exponentialfunktion wächst schneller als jede potenzfunktion
vielleicht wird das durch folgendes klarer
$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{x\to\infty}x^a}{\lim_{x\to\infty}(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^a}{a!}+\cdots)} \end{eqnarray*}$

29.11.2013, 18:24

Jolly Roger

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vielleicht hilf dir aber auch folgendes

29.11.2013, 18:33

Squashist

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Hallo,

nun gut, so könnte ich das machen. Ich hatte nur auf einen direkten Weg gehofft, ohne zuerst limes von e^x/x^a (also den Kehrwert) zu betrachten..

Zum Wikipedia-Artikel:

Dort steht dann am Ende von "Wachstum der e-Funktion im Vergleich zu Polynomfunktionen":

Wegen $\begin{eqnarray*} ln x < \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} r \cdot ln(x) -x < r\sqrt{x}-x \end{eqnarray*}$

Dies konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und somit der obige Grenzwert gegen 0.

Die rechte Seite konvergiert gegen -unendlich. Die linke ist kleiner. Und daraus wird geschlossen, dass auch dies gegen -unendlich geht? Es ist doch $\begin{eqnarray*} 1 < -\infty \end{eqnarray*}$ (um nur ein Beispiel zu nennen). Könnte ja auch so sein? verwirrt

29.11.2013, 18:41

Jolly Roger

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Wie kommst du auf?

Zitat:

Original von Squashist
Es ist doch $\begin{eqnarray*} 1 < -\infty \end{eqnarray*}$

29.11.2013, 19:23

Leopold

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Hier ein Beweis, der allein die Ableitung verwendet. Man studiert die Funktion

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = x^a \cdot \operatorname{e}^{-x} \end{eqnarray*}$

Zunächst darf man $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ voraussetzen. (Denn für $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x^a \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x^a = 1 \end{eqnarray*}$ , so daß auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} f_a(x) \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ folgt.)

Sei $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} f_a(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und ansonsten sind beide Faktoren von $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ positiv. Man berechnet

$\begin{eqnarray*} f_a'(x) = (a-x) \cdot x^{a-1} \cdot \operatorname{e}^{-x} \, , \ x>0 \end{eqnarray*}$

Von den drei Faktoren hier sind die beiden letzten immer positiv, der erste ist für $\begin{eqnarray*} x<a \end{eqnarray*}$ positiv, für $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ Null und für $\begin{eqnarray*} x>a \end{eqnarray*}$ negativ. Das zeigt, daß $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ streng monoton wächst und ab $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ streng monoton fällt. Da $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ nie negativ wird, muß daher ein eigentlicher Grenzwert $\begin{eqnarray*} \gamma_a \geq 0 \end{eqnarray*}$ existieren:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f_a(x) = \gamma_a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ziehen wir uns wie Münchhausen am eigenen Schopf aus dem Sumpf, indem wir in

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = x^{-a} \cdot f_{2a}(x) \end{eqnarray*}$

den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ vollziehen. Welche Gleichung für $\begin{eqnarray*} \gamma_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_{2a} \end{eqnarray*}$ ergibt sich?

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