Äquivalenzrelation zeigen

29.11.2013, 19:05

Hamude

Äquivalenzrelation zeigen

Folgendes:

Ist A eine Menge von Menge, so zeige dass

$\begin{eqnarray*} R:= \left\{ \left(X,Y\right)\in AxA| X\cong Y \right\} \end{eqnarray*}$

Äquivalenzrelation auf A ist.

Also ich weis, dass ich zeigen muss, dass:
a) reflexiv
b) transitiv
c) antisymmetrisch

gelten muss. Was aber meine erste Frag ist, was ist dieses Gleichheitszeichen mit der Schlange drüber? Was genau bedeutet das?

29.11.2013, 19:29

Leopold

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RE: Äquivalenzrelation zeigen

Zitat:

Original von Hamude
Was aber meine erste Frag ist, was ist dieses Gleichheitszeichen mit der Schlange drüber? Was genau bedeutet das?

Diese Frage könnten höchstens wir stellen. Du nicht. Denn du mußt sie beantworten. Niemand kann wissen, wie das bei euch definiert wurde.
Ich könnte mir vorstellen, daß, wenn $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ Mengen sind, $\begin{eqnarray*} \cong \end{eqnarray*}$ hier für die Gleichmächtigkeit steht. Das ist aber nur eine Vermutung. Wie gesagt, wissen kannst nur du es.

29.11.2013, 19:41

Hamude

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RE: Äquivalenzrelation zeigen

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Hamude
Was aber meine erste Frag ist, was ist dieses Gleichheitszeichen mit der Schlange drüber? Was genau bedeutet das?

Jop hatte mir das auch schon gedacht, war mir nur nicht sicher^^

Reicht es als Beweis dann zu schreiben:

a) reflexiv, da $\begin{eqnarray*} \left(x,x\in R\right) \end{eqnarray*}$

b) transitiv, da $\begin{eqnarray*} \left(x,y\right), \left(y,z\right)\in R \Rightarrow \left(x,z\right) \in R \end{eqnarray*}$

c) symmetrisch, da die Gleichmächtig sind und somit gilt: $\begin{eqnarray*} \left(x,y\right) \in R \Rightarrow \left(y,x\right) \in R \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Ich habe das gefühl, da fehlt noch was, aber ich weis nicht genau was.

29.11.2013, 19:44

Leopold

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RE: Äquivalenzrelation zeigen

Zitat:

Original von Hamude
Ich habe das gefühl, da fehlt noch was, aber ich weis nicht genau was.

Dieses Gefühl habe ich auch. Du zitierst hier ja nur die bekannten Definitionen der drei charakteristischen Eigenschaften. Aber wo erfolgt irgendein Nachweis, daß die Gleichmächtigkeit sie erfüllt?

29.11.2013, 19:49

Hamude

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Was wäre ein Ansatz dafür, weis nicht wie oder wo ich anfangen soll.

EDIT:

Kann ich das auch so machen für Reflexiv.

DA $\begin{eqnarray*} A\subset R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \left(x,x\right) \in R \end{eqnarray*}$

29.11.2013, 19:57

Leopold

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Mit der Definition der Gleichmächtigkeit:

$\begin{eqnarray*} X \cong Y \ \ \Leftrightarrow \ \ \exists \ f \colon X \to Y \ \ \text{bijektiv} \end{eqnarray*}$

Beachte, daß jede bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ besitzt, die natürlich auch bijektiv ist. Ferner ist die Verkettung zweier bijektiver Abbildungen wieder eine bijektive Abbildung.

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