Konsistenz der korrigierten Stichprobenvarianz

30.11.2013, 10:29

pkollenda

Konsistenz der korrigierten Stichprobenvarianz

Meine Frage:
Hallo,
wir haben in unserer Vorlesung die Konsistenz der korrigierten Stichprobenvarianz nicht hergeleitet und ich finde leider auch im Internet keine wirklich gute Erklärung.

Meine Ideen:
Ich würde am liebsten über die starke Konsistenz argumentieren. Für $\begin{eqnarray*} S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n (X_{i}-\bar{X})^2 \end{eqnarray*}$ folgt ja das $\begin{eqnarray*} E(S^2)=\sigma^2 \end{eqnarray*}$ , wir haben also einen erwartungstreuen Schätzer und der Bias $\begin{eqnarray*} (S^2) \end{eqnarray*}$ ist damit Null.
Für den mittleren quadratischen Fehler fehlt mir ja jetzt noch die Varianz der korrigierten Stichprobenvarianz. Diese haben wir im Skript gegeben als:
$\begin{eqnarray*} Var(S^2)=\frac{1}{n}(\mu_{4}-\frac{n-3}{n-1}\sigma^4) \end{eqnarray*}$ wobei wir $\begin{eqnarray*} \mu_{4}=E([X_{i}-\mu]^4)<\infty \end{eqnarray*}$ vorraussetzen.

Mir ist aber nicht klar wie man auf die Formel für $\begin{eqnarray*} Var(S^2) \end{eqnarray*}$ kommt.
Wenn jemand eine Idee hat oder ein guten Link dazu wäre ich sehr dankbar.

Viele Grüße,
Philipp

30.11.2013, 13:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von pkollenda
Mir ist aber nicht klar wie man auf die Formel für $\begin{eqnarray*} Var(S^2) \end{eqnarray*}$ kommt.

Selbst ausrechnen wäre eine Möglichkeit. Augenzwinkern

Damit die Rechnung nicht zu exzessiv wird, vorab einige Vereinfachungen: Soweit nicht anders vereinbart, finden alle notierten Summationen von 1 bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ statt. Wir setzen $\begin{eqnarray*} Z_i = X_i-\mu \end{eqnarray*}$ , dann haben wir i.i.d. $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E(Z_i)=0,E(Z_i^2) = \operatorname{var}(Z_i)=\sigma^2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} E(Z_i^4)=\mu_4 \end{eqnarray*}$ , zudem ist $\begin{eqnarray*} S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k} (Z_k-\bar{Z})^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(S^2) = E(S^4)-(E(S^2))^2 = E(S^4)-\sigma^4 \end{eqnarray*}$ , es muss also noch

$\begin{eqnarray*} E(S^4) = \frac{1}{(n-1)^2} E\left( \sum_{k} \sum_{j} (Z_k-\bar{Z})^2(Z_j-\bar{Z})^2 \right) = \frac{n}{(n-1)^2} E\left( \sum_{j} (Z_1-\bar{Z})^2(Z_j-\bar{Z})^2 \right) \end{eqnarray*}$ ,

letzteres aus Symmetriegründen.

Jetzt wird es etwas mühsam, denn es wird ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} E(S^4) &=& \frac{n}{(n-1)^2} \sum_{j} E\left( \left( Z_1^2-2Z_1\bar{Z}+\bar{Z}^2 \right) \left( Z_j^2-2Z_j\bar{Z}+\bar{Z}^2 \right) \right)\\ &=& \frac{n}{(n-1)^2} \sum_{j} E\left( Z_1^2Z_j^2-2Z_1^2Z_j\bar{Z}+Z_1^2\bar{Z}^2-2Z_1Z_j^2\bar{Z}+4Z_1Z_j\bar{Z}^2-2Z_1\bar{Z}^3+Z_j^2\bar{Z}^2-2Z_j\bar{Z}^3+\bar{Z}^4 \right) \end{eqnarray*}$

Nun sind die Fälle $\begin{eqnarray*} j=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j\neq 1 \end{eqnarray*}$ zu unterscheiden, in letzterem verwendet man exemplarisch $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} Z_j \end{eqnarray*}$ im Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E(S^4) &=& \frac{n}{(n-1)^2} \left( E(Z_1^4) - 4E(Z_1^3\bar{Z}) + 6E(Z_1^2\bar{Z}^2) - 4E(Z_1\bar{Z}^3) + E(\bar{Z}^4) \right) \\ && + \frac{n}{n-1} \left( E(Z_1^2Z_2^2)-2E(Z_1^2Z_2\bar{Z}) +E(Z_1^2\bar{Z}^2) -2E(Z_1Z_2^2\bar{Z}) +4E(Z_1Z_2\bar{Z}^2)-2E(Z_1\bar{Z}^3)+E(Z_2^2\bar{Z}^2)-2E(Z_2\bar{Z}^3)+E(\bar{Z}^4) \right) \\ &=& \frac{n}{(n-1)^2} \left( E(Z_1^4) - 4E(Z_1^3\bar{Z}) + 2(n+2)E(Z_1^2\bar{Z}^2) - 4nE(Z_1\bar{Z}^3) + nE(\bar{Z}^4) + (n-1)E(Z_1^2Z_2^2) - 4(n-1)E(Z_1^2Z_2\bar{Z}) + 4(n-1)E(Z_1Z_2\bar{Z}^2) \right) \end{eqnarray*}$

Ok, soweit ziemlich übel, im weiteren heißt es: Durchhalten! smile

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