Polordnung bestimmen

30.11.2013, 14:17

alcardaalanda

Polordnung bestimmen

Hallo zusammen.

Ich hänge wieder mal an einer Übungsaufgabe fest, bei der es darum geht, von diversen Funktionen die isolierten Singularitäten zu ermitteln und deren Polordnung zu bestimmen.

Als Beispiel hatten wir in der VL die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{1+z^2} \end{eqnarray*}$ mit den Singularitäten $\begin{eqnarray*} \pm i \end{eqnarray*}$ der Ordnung 1, was wir wie folgt herausgefunden haben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z^2} = \frac{1}{(z-i)} \frac{1}{(z+i)} =\frac{1}{(z-i)} \frac{1}{2i+(z-i)} \\ = \frac{1}{(z-i)} \frac{1}{2i} (\frac{1}{1+\frac{z-i}{2i} }) = \frac{1}{(z-i)} \frac{1}{2i}\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{(z-i)^{n} }{(2i)^{n} } \\ = \sum\limits_{n=-1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(z-i)^{n} }{(2i)^{n+2} } \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, dass ich nicht ganz verstehe, wieso man hier den Term einfach in die geometrische Reihe entwickeln kann (warum sollte $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1+\frac{z-i}{2i} }) \end{eqnarray*}$ betragsmäßig kleiner als 1 sein?), habe ich einfach versucht, dieses Schema auf folgende Aufgabe zu übertragen:

$\begin{eqnarray*} f(z)= \frac{1}{z^3-1} \end{eqnarray*}$

Die Singularitäten sind natürlich die 3.en Einheitswurzeln und ich wollte erstmal mit 1 anfangen. Dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^3-1}=\frac{1}{(z-1)(z^2+z+1)} = \frac{1}{(z-1)} \frac{1}{(z^2+2)+(z-1)} \\ = \frac{1}{(z-1)} \frac{1}{(z^2+2)} \frac{1}{1+\frac{z-1}{z^2+2} } = \frac{1}{(z-1)} \frac{1}{(z^2+2)}\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{(z-1)^{n} }{(z^2+2)^{n} } \\ =\sum\limits_{n=-1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(z-1)^{n} }{(z^2+2)^{n+2} } \end{eqnarray*}$

Und hier fangen meine Probleme an, da ich nicht weiß, wie ich den quadratischen Term eliminieren kann. Habe versucht, das Ganze umzuschreiben, z.B. in $\begin{eqnarray*} z^2+2=(z+1)(z-1)+3 \end{eqnarray*}$ , aber das bekomme ich dann ja auch nicht weg.

Alternativ habe ich auch zu Beginn mal eine Partialbruchzerlegung versucht und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^3-1} = \frac{-z-2}{3(z^2+z+1)} + \frac{1}{3(z-1)} \end{eqnarray*}$
Aber das macht das Ganze in meinen Augen nur noch komplizierter.

In meinen Augen ist es klar, dass die Singularitäten jeweils Polordnung 1 haben (Wie in der Schule, oder?)

Wir haben die Polordnung definiert wie folgt:

Hat eine Funktion einen Pol $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , so nennt man $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ in der Reihenentwicklung $\begin{eqnarray*} f(z) = \sum\limits_{n=-N}^\infty a_{n}(z-a)^{n} \end{eqnarray*}$ um die punktierte Scheibe die Polordnung.

Nur bekomme ich ums Verrecken den Ausdruck von oben nicht in diese Form, eben durch den von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ abhängigen Term im Nenner.

Vielleicht ist aber auch der Ansatz prinzipiell schon verkehrt?
Dabei ist das nur die erste Teilaufgabe, die nächsten Funktionen sehen noch weitaus abenteuerlicher aus... ^^

Für einen kleinen Tipp wäre ich sehr dankbar! smile

30.11.2013, 19:52

Contarsius

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RE: Polordnung bestimmen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^3-1} = \frac{-z-2}{3(z^2+z+1)} + \frac{1}{3(z-1)} \end{eqnarray*}$
Aber das macht das Ganze in meinen Augen nur noch komplizierter.

Ich muss dich enttäuschen, hier musst du ansetzen:
Wir sind in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , da geht noch mehr!
Bestimme die Partialbruchzerlegung vollständig (den Anfang hast du ja schon) und bestimme für jeden Summanden die Reihendarstellung. Das alles wird dann aufsummiert.

Ist der Riemann'sche Hebbarkeitssatz bekannt? Damit ginge es unter Umständen einfacher.

30.11.2013, 20:45

alcardaalanda

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Tut mir Leid, aber ich werde aus deiner Antwort nicht ganz schlau.

Ich habe eine Partialbruchzerlegung noch nie weiter ins Komplexe geführt und habe auch noch nie was derartiges gesehen. Da müsste ich erstmal schauen, wie das überhaupt funktionieren soll, da das ja Wurzelausdrücke sind. Kann mir spontan nicht vorstellen, dass es das einfacher macht.

Und den Riemannschen Hebbarkeitssatz kenne ich, aber leider sehe ich nicht, wie der mir hier weiterhelfen soll. 1 ist doch ein Pol und nicht hebbar, da es keine punktierte Scheibe um 1 gibt, in der f beschränkt ist. Aber das hilft mir nicht, die Polordnung herauszufinden.

Tut mir Leid, ich stehe echt auf dem Schlauch.

30.11.2013, 21:04

Contarsius

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Wenn du in

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^3-1} = \frac{-z-2}{3(z^2+z+1)} + \frac{1}{3(z-1)} \end{eqnarray*}$

den Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{-z-2}{3(z^2+z+1)} \end{eqnarray*}$

noch zerlegst, dann kommst du auf auf 2 Brüche der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{bz - c} \end{eqnarray*}$

und die kannst du dann nach dem bekannten Schema jeweils in eine Reihe um den gefragten Punkt entwickeln.
Die verschiedenen Reihenentwicklung werden dann aufaddiert.
Verständlicher? Wir können es gerne auch im Detail durchrechnen.

Zum Riemann'schen Hebbarkeitssatz: Das ist praktisch. Wenn du nämlich eine Vermutung für eine Polstelle hast, dann hilft dir folgender Hilfssatz:

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Funktion, die auf einer punktierten Umgebung $\begin{eqnarray*} U\setminus\{z_0\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} z_0\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorph ist. Ist $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to z_0}(z-z_0)^N f(z) \neq 0 \end{eqnarray*}$ (insbesondere existent!),
dann hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einen Pol der Ordnung $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Betrachte $\begin{eqnarray*} g(z) = (z-z_0)^N f(z) \end{eqnarray*}$ . Diese ist holomorph auf $\begin{eqnarray*} U\setminus\{z_0\} \end{eqnarray*}$ .
Was liefert der Riemann'sche Hebbarkeitssatz?
Wir müssen für den Nachweis des Poles $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Reihe darstellen.
Dazu verwenden wir, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ...

EDIT: Zum ersten Lösungsweg: Ich behaupte nicht, dass das besonders einfach oder elegant ist. Wenn man aber tatsächlich diese Darstellung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ haben will, dann sehe zumindest ich nicht, wie das anders gehen soll.

30.11.2013, 22:14

alcardaalanda

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Also wenn ich diesen Hilfssatz gezeigt habe, dann ist die Aufgabe ja wirklich simpel.

Ähnliche aussehende Aussagen habe ich bei unserem Beweis zum Hebbarkeitssatz und der Charakterisierung von Singularitäten gefunden.

Du meinst sicherlich $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ minimal mit dieser Eigenschaft, oder?

Dann würde ich so argumentieren, aber mit dem Schluss werde ich nicht ganz warm:

Ist $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to z_0}(z-z_0)^N f(z) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ beschränkt in einer punktierten Scheibe um $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ , also holomorph in $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ fortsetzbar.

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine Potenzreihenentwicklung der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}(z-z_{0}) ^{n} \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ hat.

Aber ich bin trotzdem verunsichert, ob ich dann sagen kann, dass eine Reihendarstellung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{g(z)}{(z-z_{0})^N } = \sum\limits_{n=-N}^\infty b_{n} (z-z_{0})^{n} \end{eqnarray*}$ , da ich ja für $\begin{eqnarray*} z=z_{0} \end{eqnarray*}$ immer noch durch 0 teilen würde. Vielleicht denke ich auch wieder zu kompliziert? Oder noch zu einfach? Puh, bei dieser späten Stunde fängt mein Gehirn an zu streiken. Big Laugh

Vielleicht bin ich ja auf dem richtigen Weg und es kommt noch der Geistesblitz. Vielen Dank schonmal bisher, ich hab das Gefühl, da fehlt nicht mehr viel. Sobald ich das raus habe, sollten auch die anderen Teilaufgaben kein Problem mehr darstellen, wenn ich mir die Funktionen so anschaue.

30.11.2013, 22:30

Contarsius

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Naja, wenn du $\begin{eqnarray*} N' > N \end{eqnarray*}$ wählst, dann ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ - wir hatten aber $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt, d.h. $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist durch die Aussage, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist eindeutig bestimmt.
Man könnte die Forderung $\begin{eqnarray*} \lim ... \neq 0 \end{eqnarray*}$ aber auch weglassen und Minimalität fordern, das stimmt.

Dein Beweis ist korrekt. Ich würde vielleicht noch ein, zwei Worte dazu verlieren, warum $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} b_{-N} \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, denn das fordert man auch, wenn ein Pol vorliegen soll.

Du würdest für $\begin{eqnarray*} z = z_0 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ teilen, deswegen darfst du diese Darstellung nur für $\begin{eqnarray*} z\neq z_0 \end{eqnarray*}$ nutzen - die Reihendarstellung will man aber ja nur auf einer punktierten Umgebung - schließlich liegt in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ein Pol vor.

Zitat:

Hat eine Funktion einen Pol $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , so nennt man $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ in der Reihenentwicklung $\begin{eqnarray*} f(z) = \sum\limits_{n=-N}^\infty a_{n}(z-a)^{n} \end{eqnarray*}$ um die punktierte Scheibe die Polordnung.

Und ja, wenn man die Polstellen "sieht", dann rechnet man sie leicht mit diesem Kriterium nach.
Dann geht es sogar relativ leicht, wenn mal ein Sinus oder eine e-Funktion auftaucht.

01.12.2013, 12:28

alcardaalanda

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Natürlich, manchmal sollte man die Definitionen von einem Pol doch ganz genau lesen (Reihendarstellung in einer punktierten Umgebung).

$\begin{eqnarray*} a_{N} \end{eqnarray*}$ ergibt sich ja gerade als der Grenzwert und ist somit $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Lustig, dass du im letzten Satz die Exponential- und Sinusfunktionen ansprichst, denn genau die tauchen in weiteren Tailaufgaben auf und ich sehe nicht, dass ich das Verfahren dort so einfach anwenden kann.

Zum einen wäre da die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) =\frac{z^{3} }{(e^{z}-1)^2 } \end{eqnarray*}$ . Hier sehe ich natürlich die Singularitäten bei $\begin{eqnarray*} 0+2ikz, k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , wo ich intuitiv sagen würde, dass für $\begin{eqnarray*} k \neq 0 \end{eqnarray*}$ Pole der Ordnung 2 vorliegen. Für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ bin ich mir nicht sicher, ob es nicht sogar eine wesentliche Singularität ist. Ich habe auch mal versucht, den exponentiellen Ausdruck als Reihe zu schreiben, aber leider nicht gesehen, dass ich den Grenzwert hier so leicht bestimmen kann.

Als letzten Teil soll man schließlich noch die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) =\frac{e^{sin(z^{2}) }-1 }{z^4} \end{eqnarray*}$ betrachten, bei welcher das Argument leider auch nicht funktioniert, da man hier als Grenzwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bekommt. Ich habe überlegt, dass ich diese Funktion im Zähler auseinanderziehe und den Hilfssatz dann auf die einzelnen Brüche anwenden kann, doch ich weiß nicht, ob man einfach sagen kann:
"Besitzen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einen Pol an der Stelle $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ mit der Ordnung $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , so auch $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ "

Oder muss man hier doch ganz anders ansetzen?

01.12.2013, 14:50

Leopold

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Es ist nicht nötig, die Laurent-Entwicklungen als Ganze zu bestimmen, wenn man nur an der Ordnung eines Poles interessiert ist. Arbeite mit begrenzten Entwicklungen, d.h. berechne die Reihen nur so weit, bis du die Frage entscheiden kannst.

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^z = 1 + z + \frac{1}{2} z^2 + \frac{1}{6} z^3 + \frac{1}{24} z^4 + \ldots \end{eqnarray*}$

Nehmen wir uns also

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{z^3}{(\operatorname{e}^z-1)^2} \end{eqnarray*}$

vor. Um etwa die Situation bei $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen, kann man die obige Reihe bereits nach dem dritten Glied abbrechen (sogar schon nach dem zweiten). Nach Subtraktion von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ entsteht

$\begin{eqnarray*} \left( \operatorname{e}^z - 1 \right)^2 = \left( z + \frac{1}{2} z^2 + \ldots \right)^2 = \left( z + \frac{1}{2} z^2 + \ldots \right) \cdot \left( z + \frac{1}{2} z^2 + \ldots \right) \end{eqnarray*}$

Beim Ausmultiplizieren entsteht die kleinste Potenz $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ trifft. $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ entsteht, wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ trifft. $\begin{eqnarray*} z^4 \end{eqnarray*}$ entsteht, wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ trifft. Um also die Glieder bis $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, genügt es, mit der obigen begrenzten Entwicklung zu rechnen. Man erhält so nach Ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} \left( \operatorname{e}^z - 1 \right)^2 = z^2 + z^3 + \ldots \end{eqnarray*}$

Bei den Pünktchen folgen höhere Potenzen, die uns nicht weiter interessieren, denn wir können schließen:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{z^3}{(\operatorname{e}^z-1)^2} = \frac{z^3}{z^2 + z^3 + \ldots} = \frac{z^3}{z^2 \cdot \left( 1 + z + \ldots \right)} = z \cdot \underbrace{\ \frac{1}{1 + z + \ldots} \ }_{g(z)} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ holomorph ist, kann man $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ in eine Taylorreihe um $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ entwickeln:

$\begin{eqnarray*} g(z) = g(0) + g'(0) \cdot z + \frac{g''(0)}{2!} z^2 + \ldots \end{eqnarray*}$

Auch hier würde man sich viel zu viel Arbeit machen, wollte man diese Reihe konkret angeben. Es genügt, wenn man nach dem ersten Glied abbricht. Man berechnet

$\begin{eqnarray*} g(0) = \frac{1}{1 + 0 + \ldots} = \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$

so daß

$\begin{eqnarray*} g(z) = 1 + \ldots \end{eqnarray*}$

gilt, wo die Pünktchen wieder für die Potenzen $\begin{eqnarray*} z,z^2,z^3 \end{eqnarray*}$ und so weiter stehen. Insgesamt folgt:

$\begin{eqnarray*} f(z) = z \cdot g(z) = z \cdot \left( 1 + \ldots \right) = z + \ldots \end{eqnarray*}$

Und dieses Mal stehen die Pünktchen für die Potenzen $\begin{eqnarray*} z^2,z^3 \end{eqnarray*}$ und so weiter. Und unsere Frage können wir beantworten:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat bei $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ eine hebbare Lücke. Die Funktion läßt sich mit $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ holomorph ergänzen. Nicht nur, daß unser vermeintlicher Pol ganz verschwunden ist, er hat sich sogar als Nullstelle erster Ordnung entpuppt. Man könnte auch etwas überspannt von einem Pol der Ordnung $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ sprechen.

Jetzt zur Stelle $\begin{eqnarray*} z=2 \pi \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Hier hilft es, die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion heranzuziehen:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{z^3}{\left( \operatorname{e}^z - 1 \right)^2} = \frac{z^3}{\left( \operatorname{e}^{z - 2 \pi \operatorname{i}} - 1 \right)^2} = \frac{\left( w + 2 \pi \operatorname{i} \right)^3}{\left( \operatorname{e}^w - 1 \right)^2} \ \ \text{mit} \ \ w = z - 2 \pi \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

Eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ heißt eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ . Also haben wir wieder unsere gewohnte Taylorreihe:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^w - 1 = w + \frac{1}{2} w^2 + \ldots \end{eqnarray*}$

So bekommen wir:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{\left( w + 2 \pi \operatorname{i} \right)^3}{\left( w + \frac{1}{2} w^2 + \ldots \right)^2} = \frac{\left( w + 2 \pi \operatorname{i} \right)^3}{w^2 + w^3 + \ldots} = \frac{1}{w^2} \cdot \underbrace{\ \frac{\left( w + 2 \pi \operatorname{i} \right)^3}{1 + w + \ldots} \ }_{g(w)} \end{eqnarray*}$

Jetzt führe die Sache ähnlich wie eben zu Ende.

01.12.2013, 18:36

alcardaalanda

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Wow, vielen Dank Leopold für deine ausführliche Antwort.

Da hatte ich mit der Reihendarstellung doch den richtigen Riecher und wenn ich den Gedanken weitergeführt hätte, wäre er bestimmt gefruchtet.

Bin gerade erst nach Hause gekommen und werde deine Tipps beherzigen. Wenn ich das recht überblicke, sollte mir das analoge Vorgehen für die anderen Singularitäten in der Tat Pole der Ordnung 2 liefern (rechne ich später noch nach).

Bevor ich mich an die Arbeit mache, hätte ich noch eine allgemeine Frage:

@ Contarsius: Du hast mir ja den Tipp mit dem Hilfssatz gegeben und in dessen Aussage ist ja ein Gernzwert ungleich 0 gefordert. Jetzt habe ich allerdings mal einen Blick in wikipedia und auf das Skript der Vorlesung vom letzten Jahr geworfen (Hatte damals ein anderer Prof gehalten).

Dort steht: EinPunkt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ heißt Polstelle oder Pol, wenn $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} (z-z_0)^k\cdot f(z) \end{eqnarray*}$ eine hebbare Singularität bei $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ hat. Ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ minimal gewählt, dann sagt man, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ habe in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ einen Pol $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ter Ordnung.

Hier steht jetzt nichts davon, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein muss, aber eben etwas von der Minimalität. Das verwirrt mich gerade ehrlich gesagt ziemlich.

Denn bei der letzten Aufgabe hätte ich dann ja für $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ und würde einfach $\begin{eqnarray*} z^4f(z) = e^{sin(x^2)} -1 \end{eqnarray*}$ berechnen und hätte einen Pol der Ordnung 4.

Andererseits widerspricht das ja ein Stück weit der oben genannten Definition eines Pols, da $\begin{eqnarray*} e^{sin(x^2)}-1 \end{eqnarray*}$ ja gar keine Singularität mehr hat, also auch keine hebbare. Ich folgere jetzt mal für mich, dass man das dann doch nicht so leicht einsehen kann.

Nichtsdestotrotz bin ich verunsichert, inwieweit sich jetzt die Definition bei wiki und die Aussage deines Hilfssatzes unterscheiden, da es sich ja so ähnlich liest, aber offenbar nicht dieselbe Aussage ist (und beide Aussagen sich für meinen Geschmack irgendwie widersprüchlich anhören).

Vielleicht kann mir da ja jemand ein bisschen Licht ins Dunkel bringen.

Die erste Aufgabe werde ich auf jeden Fall mit deinen Tipps bearbeiten können, Leopold. Vielen Dank nochmal! Meine Ausarbeitung werde ich dann bei Gelegenheit zeigen.

Danke euch für eure tolle Hilfe! Wink

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