Extremalproblem: Maximaler Flächeninhalt eines Rechtecks

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30.11.2013, 14:30	Mr.Schwamm	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalproblem: Maximaler Flächeninhalt eines Rechtecks Eine Funktion f ist für $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definiert durch: $\begin{eqnarray} f(x)=-(4x+80) \cdot e^{-\frac{1}{20}x}+80 \end{eqnarray}$ b) Ein Rechteck mit achsenparallelen Seiten besitzt die beiden Eckpunkte $\begin{eqnarray} D(0\|80) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B(x\|f(x)) \end{eqnarray}$ . Es existiert ein Punkt B mit $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ , so dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird. Bestimmen Sie die Koordinaten für diesen Punkt B. Idee: Ich habe die Eckpunkte des Rechteckes gegeben und ich weiß, dass x zu 100 % größer null sein muss. Wenn ich für x ein Wert einsetze. In diesem Fall 80, dann bekomme ich nur einen Wert raus und zwar x=-20 und dieser Wert sagt mir ganz viel über diese Funktion und zwar, dass die Funktion im ersten Quadranten(postiver Bereich) eine waagerechte Asymptote haben muss. Das Rechteck soll maximal werden: $\begin{eqnarray} HB=A=x \cdot y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} NB=y=f(x) \end{eqnarray}$ Ich bin mir echt unsicher, weil ich weiß, dass diese Bedingungen nicht vollständig sind, denn es wurden nicht umsonst zwei Punkte angegeben. Theoretisch könnte ich doch folgendes machen: Beide y-Werte miteinander subtrahieren ! $\begin{eqnarray} y=y_2-y_1 \end{eqnarray}$ Vielen Dank edit von sulo: Unpassenden Titel ("Extremalproblem: Testfahrt") geändert.
30.11.2013, 17:13	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem: Testfahrt Hallo, 1. was hat denn die Überschrift mit Deiner Aufgabe zu tun? 2. Eine kleine Skizze zeigt Dir sofort, wie diese Aufgabe gelöst werden kann. (s. Anhang)
01.12.2013, 00:28	Mr.Schwamm	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich blicke nicht durch Es liegt wahrscheinlich daran, dass ich nicht weiß, wie man so etwas abliest
01.12.2013, 07:29	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, mit Deiner Antwort kann ich ehrlich gesagt nicht viel anfangen. Beschreine bitte, was Du nicht verstehst, was Dir zum "Durchblicken" fehlt. Als einen zweiten Schubs in Richtung Lösung des Problems hänge ich eine weitere Skizze an.
01.12.2013, 14:14	Mr.Schwamm	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mir nun beide Achsen betrachten. Ich stelle fest, dass man die rot markierte Stelle abziehen muss. d.h $\begin{eqnarray} D(0\|80) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B(x\|f(x)) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} y=80-f(x) \end{eqnarray}$ Ich habe noch eine Verständnisfrage Wenn andere Punkte gewählt werden, wie z.B für y=0 P(0\|0), dann müsste man doch nichts abziehen oder? Arbeitest du mit dem Programm funkyplot? Wie kann man bei dem Programm Rechtecke und so zeichnen, würde mich auch interessieren Danke
01.12.2013, 21:04	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend, Deine Überlegungen gehen schon mal in die richtige Richtung Erinnere Dich: Du sollst die Größe eines Rechtecks bestimmen. Dazu brauchst Du die Länge der grünen Strecke - und die hast Du richtig ermittelt. Du brauchst aber noch die Länge der blauen Strecke, damit Du die Flächengröße berechnen kannst. Zu den mehr technischen Fragen: 1. Altersangemessen habe ich die Kurve mit derive gezeichnet (das Programm wird schon seit Jahren nicht mehr unterstützt, aber ich komme gut damit zurecht) 2. Alle weiteren Ergänzungen habe ich mit Paint gemacht. Das Programm kann nicht so furchtbar viel, ist aber schnell, braucht wenig Speicher und vor allem, ich kann damit umgehen.
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01.12.2013, 21:25	Mr.Schwamm	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x \cdot y=A(x;y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \cdot (80-f(x))=A(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \cdot (80 - (-(4x+80) \cdot e^{-\frac{1}{20}x}+80)=A(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \cdot (4x+80) \cdot e^{-\frac{1}{20}x}=A(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (4x^{2}+80x) \cdot e^{-\frac{1}{20}x}=A(x) \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich eine Funktion in Abhängigkeit von x Wie komme ich nun auf die Größe?
02.12.2013, 08:02	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, bis hierhin ist alles richtig Du sollst nun das Extremum der Funktion A bestimmen. Wie bestimmt man ein Extremum? Wie erkennt man, dass dieses Extremum ein Maximum ist? Noch ein Hinweis: Du musst die Produktregel verwenden.
02.12.2013, 23:02	Mr.Schwamm	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (4x^{2}+80x) \cdot e^{-\frac{1}{20}x}=A(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (8x+80) \cdot e^{-\frac{1}{20}x} -\frac{1}{20}e^{-\frac{x}{20}} \cdot (4x^2+80x)=A'(x) \end{eqnarray}$ Habe die Regel noch nie angewandt Hoffe es ist richtig
02.12.2013, 23:15	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt Da Du ja jetzt die Gleichung A'(x) = 0 lösen musst, empfiehlt es sich, den Term auf der linken Seite durch Ausklammern etwas übersichtlicher zu gestalten. Poste mal Deine Ergebnisse, ich sehe sie mir gern an.
02.12.2013, 23:39	Mr.Schwamm	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (\frac{x^{2}}{100}-\frac{3 \cdot x}{5}) \cdot e^{-\frac{1}{20}x}=A'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-\frac{x^{2}}{5}+4 \cdot x +80) \cdot e^{-\frac{1}{20}x}=A'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x^2-20x-400) \cdot e^{-\frac{1}{20}x}=A'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A'(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2-20x-400=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}}-q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1/2} = 10\pm \sqrt{500} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1/2} = 10\pm 22,360 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=10-22,360 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=10+22,360 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=32,360 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=-12,360 \end{eqnarray}$ Da x > 0 sein, fällt ein x- Wert raus $\begin{eqnarray} B(32,360\|f(32,360) \end{eqnarray}$ Hoffe habe kein Fehler gemacht Vielen Dank für die Hilfe
03.12.2013, 07:29	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, 1. In der 1. Zeile muss die rechte Seite A''(x) lauten. In der 3. Zeile muss es auf der rechten Seite lauten $\begin{eqnarray} -5 \cdot A'(x) \end{eqnarray}$ . 2. Deine weiteren Rechnungen sind alle richtig! 3. Beim Ergebnis würde ich schreiben: $\begin{eqnarray} x_{1,2} = 10\pm 10 \cdot \sqrt{5} \end{eqnarray}$ Es ist genau (Dein Wert ist ein rationaler Näherungswert) und es ist ökonomischer: Du brauchst nicht so viele Zeichen zu schreiben 4. Es fehlen jetzt nur noch die Abmessungen des Rechtecks und seine maximale Größe.
05.12.2013, 18:23	Mr.Schwamm	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} P(32,360\|38,46) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 32,360 \cdot 38,46 =1244,86 \end{eqnarray}$ Vielen Dank

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