Konvergenz zweier Reihen

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dishytype Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz zweier Reihen
Halli Hallo!

Aufgabe wie folgt:
Es seien und reelle Folgen mit positiven Zahlen. Es exisitiere ein , sodass gilt:

Nun soll ich beweisen, dass wenn die Reihe konvergiert, direkt die Konvergenz von folgt.
Mein Ansatz
Es sei konvergent.
Dann folgt draus schonmal, dass gegen 0 konvergiert.
Wenn ich nun zeigen könnte, dass gilt, dann könnte ich ganz leicht über das Quotientenkriterium zeigen, dass die Behauptung gilt. Aber eben hier hab ich das Problem, dass ich nicht weiß wie. Es kann ja eben sein, dass ein größer ist als selbst, und trotzdem eine Nullfolge ist...
Oder ist hier das Vergleichskriterium (Majorantenkriterium) gefragt? Also irgendwie zeigen, dass immer kleiner ist?

Beste Grüße!
dishytype
Contarsius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz zweier Reihen
Zitat:
Wenn ich nun zeigen könnte, dass gilt


Das wird schwierig werden, denn das stimmt nicht. Du kannst mal versuchen ein Gegenbeispiel zu suchen.

Zitat:
Oder ist hier das Vergleichskriterium (Majorantenkriterium) gefragt? Also irgendwie zeigen, dass immer kleiner ist?


Das schon eher -> versuche aus der Ungleichung

eine Abschätzung für zu gewinnen.
dishytype Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir schon gedacht, dass der erste Ansatz niht klappen kann.

So dann schätze ich mal ab:

Mein einziger Gedanke dazu ist folgender:
Ich weiß ist eine Nullfolge. Dann nimmt der Quotient irgendwann (im Unendlichen) 1 an.
Aber was bringt mir das? Das einzige was man dann herleiten könnte wäre, dass monoton fallend ist? ...
Contarsius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Diese Ungleichung gilt nun für .
Wenn also ist, gilt die gleiche Ungleichung für , d.h. du kannst weiter abschätzen. Was erhälst du so?
dishytype Auf diesen Beitrag antworten »

Dem kann ich leider nicht ganz folgen.
Kannst Du diese Idee etwas erläutern?
Contarsius Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, angenommen . Dann haben wir

Angenommen . Dann muss wegen Vorigem sein. Ansonsten erhalten wir

und das ergibt zusammen mit der anderen Ungleichung ... ?
Was erhält man durch Iteration dieses Schrittes?
 
 
dishytype Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen :


Angenommen :


Für ergibt sich analog:


Also für ergibt sich analog:



Ich verstehe nur nicht so recht was mir das bringt, wenn ich weiß dass konervgiert.

Angenommen . Dann muss wegen Vorigem sein.
-> Was bedeutet in diesem Fall überhaupt ?
Contarsius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also für ergibt sich analog:


Was heißt das denn konkret für ?

Bei dem am Schluss hast du recht, war natürlich Schwachsinn.
dishytype Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Contarsius
Was heißt das denn konkret für ?

Nunja es ergibt sich:

Aber auch hier stehe ich leider weiterhin auf dem Schlauch.
Irgendwie machts noch nicht wirklich *Klick* bei mir.
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt hast du eine konvergente Majorante gefunden. Bedenke, dass a_n_0 und b_n_0 Konstanten sind.
dishytype Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe wahrscheinlich den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber es müsste doch dann jetzt gelten dass: konvergiert. Aber ich weiß doch nur dass konvergiert.
Also meine beiden (doofen) Fragen sind eigentlich:
(1) Müsste da nicht n und nicht n+1 als Index stehen?
(2) Warum ist es so klar, dass dieser konstante Ausdruck der dazu kommt, nichts an der Konvergenz ändert?
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Zu
1) Du weißt, dass die Ungleichung für alle n>=n_0 gilt. Das reicht aus, um auf die Konvergenz der Reihe zu schließen. Konvergiert , dann auch .

2) Das folgt aus einem Grenzwertsatz. Konvergieren zwei Folgen (und Reihen sind ja Folgen), dann auch deren Produkt.
dishytype Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank an Euch beide schonmal!

Im Prinzip hätte ich mir den Umweg über dieses k also sparen können und direkt sagen, dass für gilt:
Und daraus direkt folgern, dass weil die rechte Seite konvergiert auch die linke Seite konvergiert (Majorantenkriterium) und daher die Behauptung gilt?
Nur sind nicht eigentlich wenn ich setze, auch die Ausdrücke und konstante Ausdrücke?
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du schreibst, dann ist die Idee sichtbar.
Nein, jeder Ausdruck im Argument mit n im Index läuft und ist damit nicht konstant.
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