Partielle Integration

30.11.2013, 16:56

meertt

Partielle Integration

Hallo,

könnt ihr mir bitte erklären, wie man 2*e^2x+1 integriert?
Ich muss von der Funktion f (x) = 2x * e^2 x+1 die Stammfunktion (via partielle Integration) berechnen.

(2x*e^2x+1)dx = [e^2x+1*2x] - (e^2x+1*2)dx
Hier komm ich nicht wieder.

Die Lösung soll f(x)=(x-1/2)*e^2x-1 sein.

PS: bin neu, habe noch Probleme mit der Darstellung.

Danke im Voraus!

30.11.2013, 17:15

Kasen75

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Hallo,

es geht also um die Funktion $\begin{eqnarray*} f (x) = 2\cdot x \cdot e^{2 x+1} \end{eqnarray*}$ , richtig ?

Du hast jetzt folgendes $\begin{eqnarray*} \int 2x*e^{2x+1} \ dx = [e^{2x+1} *2x] - \int e^{2x+1} \cdot 2 \ dx \end{eqnarray*}$

Damit es stimmt, musst du erst einmal $\begin{eqnarray*} e^{2x+1} \end{eqnarray*}$ integrieren und das dann rechts des Gleichheitszeichen für $\begin{eqnarray*} e^{2x+1} \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Grüße.

30.11.2013, 17:27

Bürgi

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RE: Partielle Integration
Hallo,

1. anhand der Lösung glaube ich, dass Du
$\begin{eqnarray*} F(x)=\int\left(2x e^{2x+1}\right) de \end{eqnarray*}$
bestimmen sollst.
Wenn dem so ist, dann ist die angegebene Lösung falsch.

2. Zieh die konstanten Faktoren vor das Integral, dann wir die partielle Integration etwas überschaubarer:
$\begin{eqnarray*} F(x)=2e \int\left(x e^{2x}\right) de \end{eqnarray*}$

EDIT: ... zu spät! Ich bin nicht mehr dabei!

30.11.2013, 17:40

MMchen60

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Deine Lösungsangabe ist falsch. Die richtige Lösung lautet:
$\begin{eqnarray*} F(x)=e^{2x}\cdot (x-\frac{1}{2})+x+c \end{eqnarray*}$
Wie kommt man nun dahin:
Du betrachtest zunächst einmal nur das $\begin{eqnarray*} \int \! 2x\cdot e^{2x} \, dx \end{eqnarray*}$ .
Die Formel für die partielle Integration lautet:
$\begin{eqnarray*} \int \! u'v \,=u\cdot v- \int \! v'u \, \end{eqnarray*}$
Jetzt musst du geschickt $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ und wählen $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Wählst du in der falschen Reihenfolge, kommst du zu keinem Ergebnis.
$\begin{eqnarray*} v=2x \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} u'=e^{2x} \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} v'=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u=\frac{e^{2x} }{2} \end{eqnarray*}$ .
Damit erhältst du:
$\begin{eqnarray*} \int \! 2x\cdot e^{2x} \, dx =\frac{2x \cdot e^{2x} }{2} - \int \! 2 \cdot \frac{e^{2x} }{2} \, dx =x \cdot e^{2x}- \int \! e^{2x} \, dx \end{eqnarray*}$
Jetzt musst due das $\begin{eqnarray*} \int \! e^{2x} \, dx \end{eqnarray*}$ lösen, was ja $\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x} }{2} \end{eqnarray*}$ ergibt. Somit ist:
$\begin{eqnarray*} \int \! 2x\cdot e^{2x} \, dx =x \cdot e^{2x}-\frac{e^{2x} }{2} \end{eqnarray*}$ .
Ausklammern von $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} e^{2x}(x-\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$
Jetzt hast du das Integral gelöst. In deiner Ausgangsgleichung befindet sich jedoch am Ende noch die $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ . Auch diese 1 musst du noch integrieren. Und da $\begin{eqnarray*} \int \! 1 \, dx=x \end{eqnarray*}$ ist, lautet die endgültige Lösung, der du noch ein $\begin{eqnarray*} +c \end{eqnarray*}$ anhängen musst (wegen des unbestimmten Integrals) wie von mir eingangs angeführt.

30.11.2013, 17:41

meertt

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Zitat:

Damit es stimmt, musst du erst einmal $\begin{eqnarray*} e^{2x+1} \end{eqnarray*}$ integrieren und das dann rechts des Gleichheitszeichen für $\begin{eqnarray*} e^{2x+1} \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Bleibt die Integration von e^2x+1 nicht gleich, genauso wie die Aufleitung von e^x gleich bleibt? Ich glaube, ich habe dich nicht richtig verstanden.

Zitat:

1. anhand der Lösung glaube ich, dass Du $\begin{eqnarray*} F(x)=\int\left(2x e^{2x+1}\right) de \end{eqnarray*}$ bestimmen sollst.Wenn dem so ist, dann ist die angegebene Lösung falsch.

Die Aufgabe ist aus einem Klapptest und lautet: Bestimmte jeweils die Menge aller Stammfunktion. Muss also die Stammfunktion dieser Funktion berechnen. Die Lösung leuchtet mir nicht ein, vor allem weil der Exponent 2x+1 zu 2x-1 wird. Vllt. könnt ihr mir erklären, wie man darauf kommt.

30.11.2013, 17:44

MMchen60

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Ich bin natürlich davon ausgegangen, dass die +1 am Ende der Ausgangsgeichung $\begin{eqnarray*} nicht \end{eqnarray*}$ zum Exponenten von e gehört.

Sollte dies der Fall sein, so lautet die endgültige Lösung

$\begin{eqnarray*} e^{2x+1} \cdot (x-\frac{1}{2})+c \end{eqnarray*}$

30.11.2013, 17:49

MMchen60

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Zitat:

Original von meertt

Bleibt die Integration von e^2x+1 nicht gleich, genauso wie die Aufleitung von e^x gleich bleibt? Ich glaube, ich habe dich nicht richtig verstanden.

Igitt, igitt, das Wort "Aufleiten" gibt es nicht, es findet sich noch nicht einmal im Duden. Leider ist dies immer wieder eine dumme Angewohnheit von Schülern, für Integration bzw. Bildung einer Stammfunktion dieses Wort zu gebrauchen.

Du "leitest nicht auf", sondern du integrierst bzw. bildest die Stammfunktion. Das ist korrekte mathematische Ausdrucksweise.

30.11.2013, 18:04

Kasen75

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Zitat:

Original von meertt

Bleibt die Integration von e^2x+1 nicht gleich, genauso wie die Aufleitung von e^x gleich bleibt? Ich glaube, ich habe dich nicht richtig verstanden.

Nicht ganz. Es muss noch bei der Ableitung der Stammfunktion die Ableitung des Exponenten als Faktor berücksichtigt werden.

Allgemein gilt: Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{g(x)}= g'(x) \cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

Bzw. $\begin{eqnarray*} \left( e^{g(x)} \right) '= g'(x) \cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die Gleichung durch g'(x) teilen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{g'(x)} \cdot \left( e^{g(x)} \right) '= e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist bei dir $\begin{eqnarray*} e^{g(x)}=e^{2x+1} \end{eqnarray*}$ .

Somit musst du nur noch $\begin{eqnarray*} e^{2x+1} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ teilen, um auf die Stammfunktion zu kommen.

Zitat:

Original von meertt

Die Aufgabe ist aus einem Klapptest und lautet: Bestimmte jeweils die Menge aller Stammfunktion. Muss also die Stammfunktion dieser Funktion berechnen. Die Lösung leuchtet mir nicht ein, vor allem weil der Exponent 2x+1 zu 2x-1 wird. Vllt. könnt ihr mir erklären, wie man darauf kommt.

Das mit dem Exponenten ist wohl ein Schreibfehler. Die Lösung ist wohl $\begin{eqnarray*} F(x)=(x-1/2)*e^{2x+1} +C \end{eqnarray*}$ sein.

30.11.2013, 18:29

meertt

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Ich habs dank Eurer Hilfe verstanden.
Ich danke euch (Kasen75, MMchen60, Bürgi) für die Arbeit und Mühe, die Ihr für mich aufgebracht habt.

Bis dann!

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