konvexes Polygon

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jazzo Auf diesen Beitrag antworten »
konvexes Polygon
Hi Wink

Kann mir jemand helfen?

Sei G ein konvexes Polygon, bei dem jede Ecke mit jeder verbunden sei und sich von den Verbindungslinien maximal 2 in einem Punkt schneiden.

1) Finden Sie eine Formel für die Anzahl der Schnittpunkte der inneren Verbindungslinien und beweisen Sie sie.
2) Finden Sie eine Formel für die Anzahl der in G liegenden Flächen und beweisen Sie sie mithilfe eines geeigneten Modells.

Ich habe mir jetzt ein paar n-eckige Polygone angeguckt und zähle Ecken, Kanten, Schnittpunkte und Flächen durch:

n=4: 6 Kanten, 1 Schnittpunkt, 4 Flächen
n=5: 10 Kanten, 5 Schnittpunkte, 11 Flächen
n=6: 15 Kanten, 15 Schnittpunkte, 25 Flächen
n=7: 21 Kanten, 35 Schnittpunkte, 50 Flächen

Ich vermute anhand dieser Daten:
,
da , , und . (wobei S die Anzahl der Schnittpunkte sei)

,
da , , und . (wobei F die Anzahl der Flächen sei und K die der Kanten)

Problem:
Ich weiß nicht, wie ich die Korrektheit von S(n) beweisen soll.
Bei 2) habe ich vom Tutor den Hinweis erhalten, G als Graph aufzufassen und dann die Anzahl der Kanten über die Eckengrade zu bestimmen.
Der Eckengrad jeder Ecke ist ja n-1, da jede Ecke mit jeder anderen verbunden ist.
Da wir n Ecken haben, ist also die Summe aller Eckengrade .
Damit erhalte ich , da die Summe der Eckengrade gleich zweimal die Anzahl der Kanten sein muss.
Nun weiß ich aber nicht weiter, wie ich die Korrektheit meiner Formel für F zeigen kann.

Hilfe wäre super!
Habe mir schon viele Gedanken gemacht, aber eine Anschauung für die Formeln zu finden fällt mir schwer.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvexes Polygon
Zitat:
Original von jazzo
Ich weiß nicht, wie ich die Korrektheit von S(n) beweisen soll.

Ganz einfach: Jede Auswahl von 4 der Originaleckpunkte ergibt zwei sich schneidende Diagonalen und damit einen inneren Schnittpunkt - und umgekehrt. Diese Bijektion ergibt die Anzahl .

Zitat:
Original von jazzo
Bei 2) habe ich vom Tutor den Hinweis erhalten, G als Graph aufzufassen und dann die Anzahl der Kanten über die Eckengrade zu bestimmen.
Der Eckengrad jeder Ecke ist ja n-1, da jede Ecke mit jeder anderen verbunden ist.
Da wir n Ecken haben, ist also die Summe aller Eckengrade .
Damit erhalte ich , da die Summe der Eckengrade gleich zweimal die Anzahl der Kanten sein muss.

Hmm, ich weiß nicht, was bei dir ist, anscheinend nur die Kanten, die die Originaleckpunkte verbinden.


Ich betrachte mal abweichend davon als alle Kanten im Gesamtgraphen.

Die äußeren Originalecken haben jeweils Grad .

Die inneren Ecken (d.h. die Schnittpunkte) hingegen: Jeweils Grad 4.

Das ergibt , also .

Nun den Eulerschen Polyedersatz in der Ebene anwenden, der lautet hier , umgestellt

.
 
 
jazzo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvexes Polygon
Danke HAL 9000!

Mein grober Fehler war es, dass ich die Schnittpunkte nicht als Ecken aufgefasst habe! Damit war der Graph nicht eben und ich konnte den Polyeder Satz nicht anwenden.
So ergibt das alles Sinn und ich habe es verstanden!
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