Lineare Abbildung

30.11.2013, 18:12

Theend9219

Lineare Abbildung

Hallo

Ich stehe for folgender Aufgabe:
Aufgabe: Gibt es eine lineare Abbildung in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} f (\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f (\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich würde das erst einmal als die DM auffassen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun weiss ich aber nicht wie ich weiter vorgehen muss, wegen den komplexen Zahlenraum...Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben ..

Liebe Grüße

30.11.2013, 18:20

Iorek

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Du hast eine (potentielle) lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathbb C^2\rightarrow\mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ , kann dann deine Abbildungsmatrix eine 3x3-Matrix sein? unglücklich

Mach dir lieber noch einmal klar, dass eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen bereits durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt ist.

30.11.2013, 18:28

Theend9219

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Das müsste eigendlich eine 3x2 Matrix sein, oder? Wir hatten: Die Spalten der darstellenden Matrix sind die Bilder der Basisvektoren.

LG

30.11.2013, 18:35

Iorek

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Ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ denn eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ ?

Ansonsten ist oben eigentlich schon alles nötige enthalten, was du für diese Aufgabe brauchst.

30.11.2013, 18:52

Theend9219

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Also ja diese sind eine Basis des C^2, denn Kein Vektor auf C^2 zeigt in die gleiche Richtung wie ein anderer .. Ich weiss diese Annahme ist schwammig aber ich habe mit dem Begriff meine Probleme und daher ist diese einfache Anschauung für mich noch verständlich..
Ich weiss aber nicht ob das stimmt.. da dies ja kein reeller Vektor ist sondern von C...

Liebe Grüße

30.11.2013, 19:05

Iorek

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Dann schlag noch einmal die Begriffe einer Basis nach, vor allem im Zusammenhang mit der Dimension eines Vektorraums. Deine einfache Anschauung solltest du auch schnellstmöglich ablegen, das führt (wie hier) nur zu Problemen und bringt dich nicht weiter.

Und danach könntest du dich ja mal an meinen Hinweis von oben wagen...

30.11.2013, 19:14

Theend9219

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Also ich habe nachgeschaut:
Basis ist eine Menge von Vektoren, die ein minimales Erzeugendensystem und eine maximal linear unabhängige Menge darstellt.
Es gilt die lineare Unabhängikeit zu prüfen..
Da ich eine 2x3 Matrix habe ist das linear abhängig und somit bildet es keine Basis..

30.11.2013, 19:26

Iorek

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Zitat:

Original von Theend9219
Da ich eine 2x3 Matrix habe ist das linear abhängig und somit bildet es keine Basis..

Das ist sehr ungenau ausgedrückt, aber du scheinst das richtige zu meinen. Somit kannst du also auch nicht die Matrix ausgehend von diesen drei Vektoren bilden.

Versuche einmal z.B. den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der anderen beiden Vektoren darzustellen, d.h. finde $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und betrachte $\begin{eqnarray*} f\left(a\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ . Nutze dabei die Linearität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus.

30.11.2013, 19:46

Theend9219

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Danke für deine Antwort.
$\begin{eqnarray*} f(a \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}+ b \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}) = f(a \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix})+ f(b \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das in ein Gleichungssystem setze erhalte ich: $\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Liebe Grüße

01.12.2013, 11:03

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
und betrachte $\begin{eqnarray*} f\left(a\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ . Nutze dabei die Linearität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus.

Warum hörst du denn jetzt mittendrin schon wieder auf? unglücklich

Rechne das doch einmal bis zum Ende durch.

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