Dimension von Kernen f, g und fog

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30.11.2013, 22:12	Sregar	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension von Kernen f, g und fog Meine Frage: Dies ist die Aufgabenstellung: Seien K ein Körper, U,V,W endlich-dimensionale K-Vektorräume und die K-linearen Abbildungen f und g, wobei f surjektiv ist f: U -> V g: V -> W Zu zeigen: $\begin{eqnarray} dim (ker (gof)) = dim (ker (g)) + dim (ker (f)) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: So weit bin ich bisher gekommen: $\begin{eqnarray} dim(U)=dim(ker(f))+dim(bild(f)) \end{eqnarray}$ Da f surjektiv ist gilt: $\begin{eqnarray} dim(Bild(f)) = dim(V) \end{eqnarray}$ Und somit: $\begin{eqnarray} dim(U)=dim(ker(f))+dim(V) \end{eqnarray}$ gof geht von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dim(U) = dim(ker(gof))+dim(bild(gof)) \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} dim(ker(gof))=dim(U)-dim(bild((gof)) \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} dim(ker(gof))=dim(ker(f))+dim(V)-dim(bild(gof)) \end{eqnarray}$ Durch $\begin{eqnarray} dim(V)=dim(ker(g))+dim(bild(g)) \end{eqnarray}$ und einsetzten komme ich auf: $\begin{eqnarray} dim(ker(gof))=dim(ker(f))+dim(ker(g))+dim(bild(g))-dim(bild(gof)) \end{eqnarray}$ Bin meinem Ziel schon recht nahe, jedoch henge ich genau da fest. Ich muss nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} dim(bild(g))=dim(bild((gof)) \end{eqnarray}$ gilt, um darauf zu kommen, was zu zeigen ist. Es gilt ja: $\begin{eqnarray} dim(bild(g))= dim(V)-dim(ker(g)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dim(bild(gof))=dim(U)-dim(ker(gof)) \end{eqnarray}$ Daraus: $\begin{eqnarray} dim(V)-dim(ker(g))=dim(U)-dim(ker(gof)) \end{eqnarray}$ weiter weiß ich nicht. Hab ich vielleicht irgendwo einen Fehler oder irgendetwas vergessen?
01.12.2013, 10:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension von Kernen f, g und fog Die Gleichheit $\begin{eqnarray} dim(bild(g))=dim(bild((gof)) \end{eqnarray}$ folgt aus der Surjektivität von f
01.12.2013, 11:15	Sregar	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du dies näher erleutern? Ich glaube nicht, dass es genug wäre, wenn ich schreibe dass diese Gleichung wegen der Surjektivität gilt.
01.12.2013, 11:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Glaube ich auch nicht, dass das reichen würde Die Surjektivität beschert dir sogar mehr. Es gilt $\begin{eqnarray} bild(g)=bild(gof) \end{eqnarray}$ . Kannst du das zeigen?
01.12.2013, 12:23	Sregar	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x\in bild(gof) \Rightarrow x \in bild(g(f(u)) , u\in U, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(u)=v \in V \end{eqnarray}$ , da f surjektiv ist, wird jedes Element $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ mindestens einmal getroffen. $\begin{eqnarray} bild(g(f(u)) = bild(g(v)) \Rightarrow bild(gof)=bild(g) \end{eqnarray}$ so?
01.12.2013, 12:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schreibweise ist falsch, aber im Prinzip geht es so. Oder kürzer $\begin{eqnarray} bild(g)=g(V)=g(f(U))=(g\circ f)(U)=bild(g\circ f) \end{eqnarray}$
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01.12.2013, 12:39	Sregar	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke. Damit wäre die Aufgabe dann ja gelöst. Könntest du mir noch verraten, was ich an der Schreibweise verbessern könnte? Aufgefallen ist mir jetzt, dass ich z.b. lieber $\begin{eqnarray} f(u)=v, v\in V \end{eqnarray}$ schreiben sollte.
01.12.2013, 12:56	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich stört das $\begin{eqnarray} bild(g(f(u)) , u\in U \end{eqnarray}$ . Was soll das sein? $\begin{eqnarray} g(f(u)) \end{eqnarray}$ ist ist der Wert von g an der Stelle f(u). Da braucht es kein bild. Besser finde ich folgendes: Zu $\begin{eqnarray} y\in bild(g) \end{eqnarray}$ gibt es $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y=g(v) \end{eqnarray}$ . Wegen Surjektivität von f gibt es $\begin{eqnarray} u\in U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(u)=v \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} y=g(f(u))=(g\circ f)(u)\in bild(g\circ f) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} bild(g)\subset bild(g\circ f) \end{eqnarray}$ Die Inklusion $\begin{eqnarray} bild(g)\supset bild(g\circ f) \end{eqnarray}$ gilt immer, und kann - vielleicht auch zur Übung - nach dem gleichen Muster gezeigt werden.
01.12.2013, 13:04	Sregar	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen dank für die Hilfe!

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