Eigenvektoren zu Eigenwerten |
| 01.12.2013, 00:11 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Eigenvektoren zu Eigenwerten Gegeben ist die Matrix die Eigenwerte sind 53, 53 und 62. Die soll ich jetzt jeweils in M - (Lambda*E) einsetzen und mit Gauss lösen. wenn ich 53 einsetze, erhalte ich eine Matrix mit nur dreien. Wie gehe ich dann vor, um Eigenvektoren zu bestimmen? Und spielt die tatsache, dass es ein doppelter Eigenwert ist, eine Rolle dabei, wie viele Elemente der Eigenvektoren ich frei wählen darf? Schöne Grüße |
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| 01.12.2013, 00:48 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Tatsache, dass es sich um einen doppelten Eigenwert handelt, sagt Dir, dass der zugehörige Eigenraum die Dimension 1 oder 2 hat. Deine Umformungen haben aber schon etwas konkreteres ergeben, nämlich dass der Eigenraum zweidimensional ist (Da Rang (M-53E)=1). |
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| 01.12.2013, 09:44 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Erstmal vielen, vielen Dank für die Antwort! Sogar um die Uhrzeit, was ein Service 
Soweit komme ich mit, ich kann also zwei Elemente des Eigenvektors willkürlich aussuchen, richtig? Und dann mit 3v_1 + 3_v2 + 3v_3 nach dem dritten auflösen? D.h. ich wähle zum Beispiel v_1 = 1, v_2 = 0 und erhalte v_3 = -1 und alle Vielfachem von diesem Vektor wären eine Lösung? Oder 1, 1, -2? Da gibt es ja einige Lösungen abgesehen von der trivialen. Was aber passiert beim Eigenwert 62? Ich habe so aufgelöst: 2*II + I und 2*III + I jetzt II + III gleiches Spiel wie oben, Rang = 1 weil nur eine Zeile von 0 verschieden? Kann ja nicht sein, oder? Wenn ich deine Argumentation richtig deute, kann der Vektor ja nur eindimensional sein (weil einfacher Eigenwert) |
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| 01.12.2013, 11:09 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie kommst Du auf zwei Nullzeilen ? Sofern wir uns im reellen befinden, hat die Matrix in Zeilenstufenform nur eine Nullzeile. |
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| 01.12.2013, 11:11 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was passiert denn, wenn ich den letzten Schitt im letzten Post ausführe? Oder ist schon vorher der Wurm drin? |
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| 01.12.2013, 11:34 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es entsteht genau das, was ich oben schrieb: eine Nullzeile |
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| 01.12.2013, 11:51 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Auf die Uhrzeit kann ich es ja jetzt nicht mehr schieben 
Also im Falle von 53 kann ich vier Eigenvektoren finden (entweder ich wähle die zwei frei wählbaren als 0,0 oder 1,0 oder 0,1 oder 1,1) und für den 62 gibt es entweder 0 oder 1 frei zu wählen? Natürlich kann man das dann immer noch mit Konstanten multiplizieren. |
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| 01.12.2013, 16:12 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Irgendwie scheint Dir Sonntagsarbeit nicht gut zu tun. Du entfernst Dich von der Lösung. Wie soll ein zweidimensionaler Raum eine Basis aus vier Vektoren haben? Genau so wenig kann ein reeller Eigenraum aus einem einzelnen Vektor bestehen. |
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| 01.12.2013, 16:20 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du hast wohl mit allem Recht, was du da schreibst 
Ich sehe aber rein mathematisch meine Fehler im letzten Post nicht. Wenn ich zwei bzw. einen Ausdruck aus dem Eigenvektor belibig wählen darf, gibt es doch verschiedene Kombinationsmöglichkeiten |
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| 01.12.2013, 16:34 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du sollst ja nicht irgendwelche Eigenvektoren finden, sondern eine Basis. Bei der Wahl von 0, 0 wirst Du keinen Eigenvektor herausbekommen und von den drei Kombinationen ist eine durch die anderen beiden darstellbar. |
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| 01.12.2013, 20:03 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Obwohl es immer noch Sonntag ist, traue ich mich an einen Teil mal ran. Es geht also immer darum, so viele linear unabhängige Eigenvektoren wie möglich zu finden? Ok, also 1,0 und 0,1 führen zu den vollständigen Vektoren -1,0,1 und -1,1,0. Aus 0,0 und 1,1 resultieren 0,0,0 und -2,1,1. Die beiden letzteren lassen sich als Linearkombinationen der ersten beiden darstellen. Aber ich kann für die beiden Elemente ja jeweils nur 1 oder 0 einsetzen, dabei brauche ich im Raum doch 3 Eigenvektoren, oder?
Bei der 62 bin ich nach wie vor ratlos |
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| 01.12.2013, 20:28 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist eine mögliche Definition des Begriffs Dimension: Die größte Anzahl linear unabhängiger Vektoren eines Erzeugendensystems.
WO willst Du das denn einsetzen? Und wieso sollte ein zweidimensionales Raum eine Basis aus drei Eigenvektoren haben? Das widerspricht sich doch offensichtlich. Und was ist bei dem Eigenwert 62 deine Schwierigkeit? Wenn Du das zur charakteristische Matrix gehörige GLS betrachtest kommst Du auf die Gleichungen und oder vereinfacht: und Das wirst Du doch wohl lösen können. |
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| 01.12.2013, 20:40 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mit einsetzen war eben gemeint, dass ich für die frei wählbaren Komponenten der Eigenvektoren nur entweder 0 oder 1 auswählen kann, da alles andere ja nur linear kombiniert ist.
Da gibt es einmal die triviale Lösung, wenn ich als frei wählbare Komponente 0 nehme, oder eben 1,1,1 wenn ich mich für 1 entscheide. Das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, was ein reeller Eigenraum ist und ich deswegen den zweiten Teil des folgenden Posts auf die 62 bezogen habe und deswegen meinte, ich müsste nach einem zweiten Eigenvektor für die 62 suchen:
Kann man das jetzt so lassen? |
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| 01.12.2013, 20:51 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dann solltest Du Dir das noch einmal anschauen, denn das Konzept der Eigenräume sollte man schon verstanden haben, wenn man damit arbeitet. Dabei ist die Definition eigentlich ganz einfach: Ein Eigenraum zum Eigenwert ist die Menge der Eigenvektoren zu diesem Eigenwert vereinigt mit dem Nullvektor. Diese Menge von Vektoren bildet einen Untervektorraum. Und genau aus diesem Grund suchen wir bei dieser Aufgabe nur nach einer Basis der beiden Eigenräume. Da der Nullvektor nie in einer Basis enthalten sein kann, macht es absolut keinen Sinn bei einer einzigen freien Komponente (oder eben allen freien Komponenten) die Null als Koordinate zu wählen. |
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