Leontief Inverse nach A auflösen

01.12.2013, 14:03

ThePeat

Leontief Inverse nach A auflösen

Meine Frage:
Guten Tag,

am Dienstag schreibe ich eine Matheklausur (Leistungskurs 13. Jahrgang) über LGS, Leontief Modell, inverse Matrizen, Übergangsmatrizen und Lineare Optimierung. Nun bin ich schön fleißig am lernen und will eine Aufgabe machen, die lautet:

Die volkswirtschaftliche Sektoren A, B und C sind nach dem Leontief-Modell verflochten, der Markt kann von ihnen befriedigt werden. Gegebn ist (E-A)^-1 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 80/57 & 80/57 & 50/57 \\ 15/38 & 55/19 & 45/38 \\ 10/19 & 10/19 & 30/19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

a) bestimmen sie die Inputmatrix A.
b) Bestimmen sie die Verflechtungstabelle für eine Produktion von x= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 30 \\ 40 \\ 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ansätze habe ich keine bis auf den, dass man irgendwie einen gemeinsamen Nenner für (E-A)^-1 finden muss, und das dann irgendwie multiplizieren muss...

02.12.2013, 12:31

Kasen75

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Hallo,

um E-A zu berechnen, könntest du erst einmal $\begin{eqnarray*} \frac{5}{19} \end{eqnarray*}$ ausklammern. Die so entstandene Matrix muss dann invertiert werden: Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} { \left( \alpha \cdot A \right) }^{-1}=\frac{1}{\alpha} \cdot A^{-1} \end{eqnarray*}$

Hier wäre also $\begin{eqnarray*} \alpha =\frac{5}{19} \end{eqnarray*}$

Grüße.

02.12.2013, 17:57

ThePeat

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Hi,

danke für deine Antwort.

Also, wenn ich das ausklammere kommt dabei raus:

\frac{5}{19} \cdot \begin{pmatrix} \frac{16}{3} & \frac{16}{3} & \frac{10}{3} \\ \frac{3}{2} & \frac{11}{1} & \frac{9}{2} \\ \frac{2}{1} & \frac{2}{1} & \frac{6}{1} \end{pmatrix}

Und nun? Ich wüsste jetzt nicht wirklich was mit den Gesetzen, die du mir grade gezeigt hst, was anzufangen, weil ich A ja nicht kenne. Aber ich werde mal grade ausgerechnete Matrix einsetzen und dann invertierem. dann kommt dabei raus:

\begin{pmatrix} 0,9 & -0,4 & -0,2 \\ 0 & 0,4 & -0,3 \\ -0,3 & 0 & 0,8 \end{pmatrix}

Was habe ich nun herausgefunden?

02.12.2013, 20:04

Kasen75

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Zitat:

Original von ThePeat

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,9 & -0,4 & -0,2 \\ 0 & 0,4 & -0,3 \\ -0,3 & 0 & 0,8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was habe ich nun herausgefunden?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,9 & -0,4 & -0,2 \\ 0 & 0,4 & -0,3 \\ -0,3 & 0 & 0,8 \end{pmatrix}=E-A \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung kann man umstellen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0,9 & -0,4 & -0,2 \\ 0 & 0,4 & -0,3 \\ -0,3 & 0 & 0,8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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