Alle Häufungswerte einer rekusiven Folge bestimmen

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01.12.2013, 14:44	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Häufungswerte einer rekusiven Folge bestimmen Hallo Leute, ich soll alle Häufungswerte einer rekusiv definierten Folge bestimmen. Im speziellen geht es um diese Folge: $\begin{eqnarray} a_{n+1}= \frac{3-2i}{4}\cdot a_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_0=10i \end{eqnarray}$ Könnte mir mal jemand das Vorgehen beschreiben, ich hab leider gar keinen Plan wie ich an die Aufgabe rangehen soll. LG Shiby
01.12.2013, 14:51	Andreaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Folge ist zwar rekursiv definiert, aber du kannst sie auch in einer Form angeben, die nichtmehr rekursiv ist. Vielleicht hilft das.
01.12.2013, 15:25	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt quasi ich rechne mir die ersten 10 Folgenglieder aus und gucke nach welcher Vorschrift die gebildet werden.
01.12.2013, 15:32	Andreaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Das scheint mir etwas arg umständlich. Was passiert denn in jedem Schritt?
01.12.2013, 15:39	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
der Zähler wird mit dem erechneten Wert des vorherigen n multipliziert.
01.12.2013, 15:43	Andreaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht schauen wir uns doch ein paar Folgeglieder an.. ^^ sei b = ((3-2i)/4) Also a_0 = 10i a_1 = b10i a_2 = bb10i a_3 = bbb10i . . .
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01.12.2013, 15:48	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okey jezt ist das Bildungsgesetzt recht leicht zu erkennen. Es sollte $\begin{eqnarray} (\frac{3-2i}{4})^n\cdot 10i \end{eqnarray}$ sein.
01.12.2013, 15:51	Andreaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau. Nun weißt du vermutlich, dass bei einer konvergenten Folge der einzige Häufungspunkt der Folge der Grenzwert ist. Wenn du also zeigen kannst, dass die Folge konvergiert weiß du es gibt nur einen Häufungspunkt und wenn du diesen Grenzwert auchnoch findest kennst du den gesuchten Häufungspunkt.
01.12.2013, 16:08	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mich das auf Konvergenz prüfen lässt hast du Wahrscheinlich schon das Ergebnis, was dann ein Häufungswert sein sollte. Ich glaube aber eher das die Folge 8 Häufungswerte hat. Guck dir mal die pdf im Link an auf Seite 3 die Lösung zu Teilaufgabe b. Das Ding sieht ja so ähnlich aus wie meins. http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de/lectures/ss11/ana1/LoesungshinweiseAna8.pdf Wenn ich das auf Konvergenz prüfen müsste würde ich wie folgt vorgehen $\begin{eqnarray} (\frac{3-2i}{4})^n\cdot 10i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{(3-2i)^n}{4^n}\cdot 10i \end{eqnarray}$ Dann würde ich versuchen zu zeigen dass der Nenner größer als der Zähler ist. Dazu nehme ich das Gegenteil an und führe einen Widerspruch herbei. $\begin{eqnarray} (3-2i)^n > 4^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3-2i > 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2i > 1 \end{eqnarray}$ Jetzt kann ich keine endgültige Aussage treffen, weil C kein angeordneter Körper ist
01.12.2013, 16:20	Andreaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm.. Ich überleg mir das nochmal, aber die Norm von b^n scheint mir tatsächlich in jedem Schritt echt kleiner zu werden, während die Norm in dem anderen Beispiel bei 1 bleibt. Ich sollte mich also, je weiter ich in der Folge vorrücke in einem immer kleineren Ball um die 0 befinden.
01.12.2013, 16:30	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Meldest du dich dann wieder, wenn du etwas neues herausgefunden hast
01.12.2013, 16:42	Andreaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich finde nichts was auf mehr als einen HP hindeutet, und da die Norm echt kleiner wird glaube ich auch nicht, dass es da irgendeine Periodizität geben könnte. Bleibe also bei dem, was ich gesagt habe. Vielleicht hat irgendjemand sonst eine Idee?
01.12.2013, 17:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen $\begin{eqnarray} \|\frac{3-2i}{4}\|<1 \end{eqnarray}$ hat man es mit einer Nullfolge zu tun.
01.12.2013, 17:19	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt sehr einleuchtend für mich. Ich glaube mein Prof hat sich die Lösung ein wenig anders vorgestellt weil meine Aufgabe ist es eigentlich den limsup und liminf zu bestimmen. Und bei dieser Aufgabe steht expliziet noch bei das man alle Häufungswerte angeben soll
01.12.2013, 18:01	Andreaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Nya, limsup und liminf von einer komplexen Folge mit mehreren Häufungspunkten scheint mir kein sehr sinnvolles Konzept zu sein. Einen tatsächlichen Limes zu finden wäre also die einzige Möglichkeit darüber irgendwas zu sagen, oder?

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