Divergenz der harmonischen Reihe(?)

01.12.2013, 14:47	Andreaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz der harmonischen Reihe(?) Hey! Also es geht um den Beweis zur Divergenz der harmonischen Reihe, bei dem man 2^n Faktoren der Folge zusammenbaut, so dass die Summe größer als 1/2 ist. Also 1/2 = 2/4 = 1/4 +1/4 < 1/3 + 1/4 und 1/2 = 4/8 < 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8.... etc So, und ich überlege mir gerade was passiert, wenn dieses 1/2 von jeder Gruppe abziehe. Also 1/2 (- 1/2) + 1/3 + 1/4 (-1/2) + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 (-1/2) + 1/9 etc Dass Argument von oben wir dann ja nutzlos. Allerdings schaffe ich es auch nicht die Reihe in eine Form zu bringen, so dass ich ein Kriterium draufwerfen kann. Oder sie and Wolfrahmalpha weitergeben könnte.. Irgendjemand eine Idee? Vielleicht irgendeine schöne Mino/Majorante? Inverse Primzahlsumme hab' ich schon probiert, leider minorisiert die nicht.. Glaub ich. Ich kann ja beliebig große Lücken bauen. ( Ist keine Hausaufgabe, also kein Druck. Auch vage/vllt falsche Ideen sind willkommen )
01.12.2013, 15:51	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, man kann die harmonische Reihe ja erstmal umschreiben(der Einfachheit halber beginnt sie bei mir mit 2): $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k} = \sum_{k=0}^\infty\sum_{l=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{l} \end{eqnarray}$ . Dann ist jede der Summen im Argument genau die k. Zusammenfassung von 2^k Summanden. Uns interessiert also, ob $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty\left(\left(\sum_{l=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{l}\right)-c\right) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ konvergiert. (zunächst mal interessiert uns $\begin{eqnarray} c=0.5 \end{eqnarray}$ ) Jetzt könnte man $\begin{eqnarray} \sum_{l=2^k+1}^{2^k+1}\frac{1}{l} \end{eqnarray}$ noch als Ober- und Untersumme eines Integrals auffassen und erhält damit die Abschätzung: $\begin{eqnarray} \int_{2^k+1}^{2^{k+1}+1}\frac{1}{x}\dx \leq \sum_{2^k+1}^{2^k+1}\frac{1}{l} \leq \int_{2^k}^{2^{k+1}}\frac{1}{x}\dx \end{eqnarray}$ . Das vereinfacht sich zu $\begin{eqnarray} \ln\left(1+\frac{2^k}{2^k+1}\right) \leq \sum_{2^k+1}^{2^k+1}\frac{1}{l} \leq \ln(2) \end{eqnarray}$ . Das linke liegt dabei auch sehr nah bei $\begin{eqnarray} \ln(2) \end{eqnarray}$ . Ziehst du nun jeweils $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ab, so divergiert obige Summe also immernoch. Eine Frage wert wäre noch, was passiert, wenn man stattdessen $\begin{eqnarray} \ln(2) \end{eqnarray}$ abzieht. Könnte man zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^\infty\left(\ln(2)-\ln\left(1+\frac{2^k}{2^k+1}\right) \right) \end{eqnarray}$ konvergiert, so wäre dies der Fall. Hier kann man dann mal eine Taylorentwicklung des LN mit Entwicklungsstelle $\begin{eqnarray} x_0 = 2 \end{eqnarray}$ machen. Man bekommt für $\begin{eqnarray} x<2 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \l(x) = \ln(2)+\frac{1}{\xi}(x-2) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \xi\in(x,2) \end{eqnarray}$ . Das ist größer gleich $\begin{eqnarray} \ln(2)+\frac{1}{x}(x-2) \end{eqnarray}$ . Setzen wir das ein, erhalten wir $\begin{eqnarray} 0 < \ln(2)-\ln\left(1+\frac{2^k}{2^k+1}\right) \leq \ln(2)-\left(\ln(2)+\frac{1}{1+\frac{2^k}{2^k+1}}(1+\frac{2^k}{2^k+1}-2)\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{1+\frac{2^k}{2^k+1}}\left(1-\frac{2^k}{2^k+1}\right) = \frac{2^k+1}{2^{k+1}+1}\frac{1}{2^k+1}=\frac{1}{2^{k+1}+1} \end{eqnarray}$ , was denke ich als Majorante ausreichen sollte. Liebe Grüße, Guppi12
01.12.2013, 16:29	Andreaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Klasse, danke dir.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »