Vereinfachen von Bruch

01.12.2013, 14:58

Thorsten_2

Vereinfachen von Bruch

Meine Frage:
Hallo,

ich brauche Hilfe bei folgenden Bruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{c*s}{c²-v²} }{\frac{s}{\sqrt{c²-v²}} } = \frac{c*\sqrt{c²-v²}}{c²-v²} \end{eqnarray*}$

Was ist bei dieser Umformung passiert?!

Vielen Dank für Eure Hilfe!
Mir fehlen hier die Zwischenschritte.

Meine Ideen:
Ich hätte das Ganze erstmal so umgeformt, da man das s kürzen kann und c vor den Bruch schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} \frac{c*\frac{1}{c²-v²} }{\sqrt{c²-v²} } \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es weiter?

01.12.2013, 15:05

Math²

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Salopp gesagt, folgt das aus den Bruchrechenregeln.

Um es in einem Schulspruch auszudrücken: "Man teilt durch einen Bruch, in dem man mit seinem Kehrwert mal nimmt."

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{c*s}{c²-v²} }{\frac{s}{\sqrt{c²-v²}} } = \frac{c*s}{c²-v²} : \frac{s}{\sqrt{c²-v²}}=\frac{c*s}{c²-v²} * \frac{\sqrt{c²-v²}}{s} \end{eqnarray*}$

Deine Umformung stimmt hingegen nicht, weil du aus

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{c²-v²}} = \sqrt{c²-v²} \end{eqnarray*}$ machst.

Genauso kannst du auch so vorgehen: (ist vielleicht mathematischer Augenzwinkern

)

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{c*s}{c²-v²} }{\frac{s}{\sqrt{c²-v²}} } = \frac{\frac{c*s}{c²-v²} }{\frac{s}{\sqrt{c²-v²}}} * \frac{\sqrt{c^2-v^2}}{\sqrt{c^2-v^2}}=\frac{\frac{c*s}{c^2-v^2}*\sqrt{c^2-v^2}}{s}=\frac{\frac{c*s}{c^2-v^2}*\sqrt{c^2-v^2}}{s}*\frac{s}{s}= \frac{c*\sqrt{c²-v²}}{c²-v²} \end{eqnarray*}$

01.12.2013, 15:16

Thorsten_2

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Vielen Dank!

Und die Umformung zu folgenden Bruch:
$\begin{eqnarray*} \frac{c}{\sqrt{c² -v²}} \end{eqnarray*}$

Ergibt sich diese dann durch das Herauskürzen des terms c² -v² ?!
Oder gibt es hierfür auch eine Regel? Mit dem Kehrwert scheint es hier nicht zu funktionieren

01.12.2013, 15:22

laienstefan

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Zitat:

Original von Thorsten_2
Vielen Dank!

Und die Umformung dazu:
$\begin{eqnarray*} \frac{c}{\sqrt{c² -v²}} \end{eqnarray*}$

Ergibt sich diese dann durch das Herauskürzen des terms c² -v² ?!
Oder gibt es hierfür auch eine Regel?

Das ergibt sich durch ein bisschen überlegen:
Schaut man sich $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a} }{a} \end{eqnarray*}$ an und erweiter mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ , dann steht im Zähler nur noch a und im Nenner $\begin{eqnarray*} a*\sqrt{a} \end{eqnarray*}$
Das a kürzt sich weg, so bleibt die Wurzel im Nenner übrig.

01.12.2013, 15:26

Math²

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Ich hab oben auch nochmal eine Mathematischere Methode editiert, als die mit der Schuleselbrücke Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{c*\sqrt{c²-v²}}{c²-v²} \end{eqnarray*}$

Das folgt hieraus. Denn:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=x^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{c*(c²-v²)^\frac{1}{2}}{c²-v²} \end{eqnarray*}$

Potenzregeln:

$\begin{eqnarray*} = c*(c²-v²)^{\frac{1}{2}-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = c*(c²-v²)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{c}{\sqrt{c² -v²}} \end{eqnarray*}$

EDIT: War jemand wohl vor mir...

01.12.2013, 15:40

Thorsten_2

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Ich verstehe hiier noch nicht ganz die Anwendung der Potenzregeln.
Wie entsteht das c * (c²- v²)^(1/2-1) ?!

01.12.2013, 15:48

laienstefan

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Jetzt sind wir bei Potenzregeln:
1. Bei Multiplikation zweier gleicher Ausdrücke werden die Exponenten addiert.
2. Wenn ein Term im Nenner steht, wird der Exponent dieses Termes negativ.
3. $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{1/2} \end{eqnarray*}$

klar?

01.12.2013, 15:52

Math²

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=x^{-1} \end{eqnarray*}$

Daher ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{c*(c²-v²)^\frac{1}{2}}{c²-v²} =c*(c²-v²)^\frac{1}{2}*(c²-v²)^{-1} = c*(c²-v²)^{\frac{1}{2}-1} \end{eqnarray*}$

Bei Multiplikation zweier Terme mit selber Basis, wird der Exponent beider addiert.

EDIT: wieder zu spät unglücklich

01.12.2013, 16:01

Thorsten_2

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Also irgendwas mache ich da noch falsch, ich bekomme jetz tfolgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \frac{c*{(c²-v²)}^{(1/2 - 1)}}{c*{(c²-v²)}^{(1/2 + 1)}} \end{eqnarray*}$

jetzt würde sich ja das c herauskürzen...

01.12.2013, 16:04

Math²

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Dann zeig uns mal deinen Rechenweg bis dorthin.

Du kannst auch mal den Weg von laienstefan mit Erweitern gehen, der fällt dir vielleicht einfacher.

01.12.2013, 18:53

Thorsten_2

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Ich glaube jetzt habe ich es kapiert!

$\begin{eqnarray*} \frac{c*(c²-v²)^{1/2} }{c²-v²} \end{eqnarray*}$

Diesen Bruch kann man durch Anwendung von
dem Postenzgesetz:
$\begin{eqnarray*} a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \end{eqnarray*}$
Auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} c* (c² - v²)^{1/2} * (c² - v²)^{-1} \end{eqnarray*}$
Dies ist wiederum durch das Potenzgesetz:
$\begin{eqnarray*} a^{m} * a^{n} = a^{m+n} \end{eqnarray*}$
So umformbar:
$\begin{eqnarray*} c* (c² - v²)^{1/2-1} \end{eqnarray*}$
und durch Anwendung von:
$\begin{eqnarray*} a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \end{eqnarray*}$
wiederum das:
$\begin{eqnarray*} \frac{c}{\sqrt{c²-v²} } \end{eqnarray*}$

Korrekt?

Wenn mir jetzt noch einer erklären kann, wie ich von hier zu folgenden Bruch komme, dann wäre ich über glücklich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v²}{c²} } } \end{eqnarray*}$

01.12.2013, 19:08

laienstefan

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Zitat:

Original von Thorsten_2
[....]
Korrekt?

Zitat:

Original von Thorsten_2
Wenn mir jetzt noch einer erklären kann, wie ich von hier zu folgenden Bruch komme, dann wäre ich über glücklich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v²}{c²} } } \end{eqnarray*}$

Zwo kleine Schritte: Zuerst klammerst du in der Klammer $\begin{eqnarray*} c^2 \end{eqnarray*}$ aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{\sqrt{c²-v²} } = \frac{c}{\sqrt{c^2*(1-\frac{v²}{c²}) }} \end{eqnarray*}$

Das kannst du vor die Wurzel ziehen, denn die Wurzel vom Quadrat von c ist ja c Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{\sqrt{c^2*(1-\frac{v²}{c²}) }} = \frac{c}{\ {c*\sqrt {(1-\frac{v²}{c²})} }} \end{eqnarray*}$

Sorry, die Wurzel im Nenner geht natürlich über die ganze Klammer - sieht so aus, als bräuchte ich in dem Latex-Gedöns Nachhilfe ;-)

edit von sulo: Fast-Vollzitat gelöscht und diese Klammern {} um den Bruch in der Wurzel gesetzt. Augenzwinkern

01.12.2013, 19:21

Thorsten_2

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Wunderbar und Vielen Dank!

Ich wünsche Dir (euch) noch einen schönen 1. Advent/ Sonntag.

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