Dimension

01.12.2013, 15:17

Apollonios

Dimension

Aufgabe:

1. Seien $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_4 \end{eqnarray*}$ die folgenden Vektoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1=(1,1,2,1), v_2=(2,2,5,1), v_3=(1,1,3,0), v_4=(3,3,8,1) \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie die Dimension des $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray*} Span_{\mathbb R}\{v_1,v_2,v_3,v_4\} \end{eqnarray*}$

b) Finden Sie unter den Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ eine Basis für $\begin{eqnarray*} Span_{\mathbb R}\{v_1,v_2,v_3,v_4\} \end{eqnarray*}$ und beweisen Sie, dass die von ihnen ausgewählten Vektoren tatsächlich eine Basis für $\begin{eqnarray*} Span_{\mathbb R}\{v_1,v_2,v_3,v_4\} \end{eqnarray*}$ sind.

Ansatz:

Okay ich habe folgende Matrix gebildet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 3 & 8 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Warum muss ich hier eigentlich die Vektoren in als zeilen schreiben und nicht als spalten ?

Dann hab ich das ganze per Gauß zu folgender Matrix in ZSF gebracht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also habe ich gesagt:

Die Vektoren haben die Dimension 2. Das darf ich ja eigentlich noch garnicht so sagen denn ich brauche ja eigentlich erstmal eine Basis. Für eine Basis gilt:

(1) Die Vektoren sind Linear Unabhängig
(2) Die Vektoren sind ein Erzeugendensystem

(1) Sieht man relativ leicht, denn kein Vektor ist eine linearkombination des anderen

(2) Mh keine ahnung wie ich das zeigen soll.

Ich hab ja dann

$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist ja

$\begin{eqnarray*} Span(v_1,v_2)=\{\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Nun wäre aber

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}<br /> <br /> = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ 3\cdot \lambda_1+\lambda_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur reicht das ja sicher nicht aus um zu begründen das es ein Erzeugendensystem ist oder ?

Und bei b) bin ich irgendwie überfragt. Also ich finde a) ist schon b) mit in begriffen, oder sehe ich das falsch ?

02.12.2013, 09:12

klarsoweit

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RE: Dimension

Zitat:

Original von Apollonios
Warum muss ich hier eigentlich die Vektoren in als zeilen schreiben und nicht als spalten ?

Weil man dann mit Zeilen-Operationen letztlich Vektoren zu anderen Vektoren addiert und somit herausfiltert, ob man den Nullvektor produzieren kann. Die übrig gebliebenen Zeilen als Vektoren geschrieben bilden dann eine Basis. Wenn man sich noch merkt, welche Zeilen welchen ursprünglichen Vektoren entsprechen (das ist nötig bei Zeilenvertauschungen), dann hat man auch die Basisvektoren aus der ursprünglichen Vektorenfamilie herrausgefiltert.

Zitat:

Original von Apollonios
Die Vektoren haben die Dimension 2. Das darf ich ja eigentlich noch garnicht so sagen denn ich brauche ja eigentlich erstmal eine Basis.

Gut, daß du das selber merkst. Aber eine Basis hast du ja jetzt. Außerdem haben nur Vektorräume eine Basis, nicht Vektoren.

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