Summe der Wurzeln von Primzahlen => irrational

01.12.2013, 20:58

Neulingstudent

Summe der Wurzeln von Primzahlen => irrational

Meine Frage:
Man hat ein p und ein q, aus den Primzahlen, aber p ungleich q. Man soll nun zeigen dass die reelle Zahl x= $\begin{eqnarray*} \sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$ immer irrational ist

Meine Ideen:
Jetzt hab ich schon gezeigt dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{q} \end{eqnarray*}$ irrational sind und die Gleichung quadriert und nach $\begin{eqnarray*} \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$ aufgelöst und
(x^2+p*q-p-q)/ (2x+2)= $\begin{eqnarray*} \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$
erhalten, weiß aber nicht wie ich jetzt zeigen soll dass das irrational ist. Würde mich über Hilfe freuen vielen Danke für freundliche Hilfe im voraus

02.12.2013, 14:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Neulingstudent
Jetzt hab ich schon gezeigt dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{q} \end{eqnarray*}$ irrational sind und die Gleichung quadriert

Welche Gleichung hast du quadriert? Wenn du z.B.

$\begin{eqnarray*} x-\sqrt{p} = \sqrt{q} + \sqrt{pq} \end{eqnarray*}$

quadrierst, kommst du auf

$\begin{eqnarray*} x^2-2x\sqrt{p}+p = q(1+2\sqrt{p}+p) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+p-q-pq = 2(q+x)\sqrt{p} \end{eqnarray*}$

was bei angenommen rationalen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt{p} \end{eqnarray*}$ widerspricht.

03.12.2013, 10:42

Neulingstudent

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Entschuldigung hab mmich wohl etwas ungenau ausgedrückt! Hab bereits gezeigt dass die Wurzel von p und die Wurzel von q irrational sind über die eigenschaften von Wurzeln und Primzahlen. Mein Problem ist es nun noch zu zeigen das Wurzel p*q irrational ist.
Dazu hab ich die Gleichung genommen
$\begin{eqnarray*} x-\sqrt{p*q} = \sqrt{q} + \sqrt{p} \end{eqnarray*}$
nach $\begin{eqnarray*} \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$ aufgelöst und
(x^2+p*q-p-q)/ (2x+2) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$ erhalten
Mit der Hoffnung dass ich damit zeigen kann dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$ irrational sien MUSS.
Idee?

03.12.2013, 10:45

Neulingstudent

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Zitat:

Original von Neulingstudent
Entschuldigung hab mmich wohl etwas ungenau ausgedrückt! Hab bereits gezeigt dass die Wurzel von p und die Wurzel von q irrational sind über die eigenschaften von Wurzeln und Primzahlen. Mein Problem ist es nun noch zu zeigen das Wurzel p*q irrational ist.
Dazu hab ich die Gleichung genommen
$\begin{eqnarray*} x-\sqrt{p*q} = \sqrt{q} + \sqrt{p} \end{eqnarray*}$
nach $\begin{eqnarray*} \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$ aufgelöst und
(x^2+p*q-p-q)/ (2x+2) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$ erhalten
Mit der Hoffnung dass ich damit zeigen kann dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$ irrational sien MUSS.
Idee?

Kleiner Fehler
Nicht $\begin{eqnarray*} x-\sqrt{p*q} = \sqrt{q} + \sqrt{p} \end{eqnarray*}$
,sondern.....
$\begin{eqnarray*} (x-\sqrt{p*q})^2 = (\sqrt{q} + \sqrt{p})^2 \end{eqnarray*}$

03.12.2013, 11:02

HAL 9000

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Vielleicht solltest du mal deine Gedanken ordnen, denn vom Standpunkt der Logik aus klingen deine Ausführungen äußerst verworren bzw. ziellos. unglücklich

Zitat:

Original von Neulingstudent
Mit der Hoffnung dass ich damit zeigen kann dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$ irrational sien MUSS.

Damit kannst du doch nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{pq} \end{eqnarray*}$ irrational ist. Sondern es ist so, dass du anderweitig zeigst, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{pq} \end{eqnarray*}$ irrational ist, und dass unter der Annahme "x rational" in der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+pq-p-q}{2x+2} = \sqrt{pq} \end{eqnarray*}$

links was rationales steht, im Widerspruch zu der (vorher) gesichterten Aussage, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{pq} \end{eqnarray*}$ irrational ist. Damit war die Annahme "x rational" falsch, und die Behauptung "x irrational" ist damit bewiesen - so funktioniert der indirekte Beweis!

03.12.2013, 11:08

Neulingstudent

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Zitat:

Original von HAL 9000
Vielleicht solltest du mal deine Gedanken ordnen, denn vom Standpunkt der Logik aus klingen deine Ausführungen äußerst verworren bzw. ziellos. unglücklich

Zitat:

Original von Neulingstudent
Mit der Hoffnung dass ich damit zeigen kann dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$ irrational sien MUSS.

<

Oh mann verwirrt

schonmal danke soweit
Ja ich solll aber zeigen, dass die reelle Zahl x= $\begin{eqnarray*} \sqrt{pq} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \sqrt{p} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \sqrt{q} \end{eqnarray*}$ immer rational ist. Hättest du nen Denkvorschlag für mich lieg ja anscheinend komplett in der falschen Richtung

03.12.2013, 11:10

Neulingstudent

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Zitat:

Original von Neulingstudent

Zitat:

Original von HAL 9000
Vielleicht solltest du mal deine Gedanken ordnen, denn vom Standpunkt der Logik aus klingen deine Ausführungen äußerst verworren bzw. ziellos. unglücklich

Zitat:

Original von Neulingstudent
Mit der Hoffnung dass ich damit zeigen kann dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{p*q} \end{eqnarray*}$ irrational sien MUSS.

<

Oh mann verwirrt

ACH JETZT!!!! hab verstanden Hammer

Vielen Danke!

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