Häufungspunkte, sup, inf, lim sup, lim inf

01.12.2013, 21:00

Dani_ela

Häufungspunkte, sup, inf, lim sup, lim inf

Hallo zusammen,
folgendes ist meine Aufgabe:

Bestimmen Sie die Häufungspunkte, sup, inf, lim sup, lim inf der Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n}) = \frac{1}{n} + \cos(n\pi ) \end{eqnarray*}$ .

Die ersten paar Folgenglieder sehen ja so aus:
$\begin{eqnarray*} (a_{n}) = 0, \frac{3}{2}, -\frac{2}{3}, \frac{5}{4}, -\frac{4}{5}, \frac{7}{6}, -\frac{6}{7}, ... \end{eqnarray*}$

Es gibt also zwei Teilfolgen, die konvergieren:
$\begin{eqnarray*} (a_{2n-1}) = 0, -\frac{2}{3}, -\frac{4}{5}, -\frac{6}{7}, ... \Rightarrow a_{2n-1} \xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{} -1 \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} (a_{2n}) = \frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{6}, ... \Rightarrow a_{2n} \xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{} 1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgere ich, dass es zwei Häufungspunkte gibt, nämlich -1 und 1.

Stimmt das soweit?

LG und einen frohen (restlichen) ersten Advent smile

Daniela

01.12.2013, 22:32

EinGast

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RE: Häufungspunkte, sup, inf, lim sup, lim inf

Zitat:

Original von Dani_ela
Es gibt also zwei Teilfolgen, die konvergieren:
$\begin{eqnarray*} (a_{2n-1}) = 0, -\frac{2}{3}, -\frac{4}{5}, -\frac{6}{7}, ... \Rightarrow a_{2n-1} \xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{} -1 \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} (a_{2n}) = \frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{6}, ... \Rightarrow a_{2n} \xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{} 1 \end{eqnarray*}$

das stimmt, sollte aber noch etwas genauer begründet werden als durch Aufschreiben der ersten paar Folgenglieder

01.12.2013, 23:17

Dani_ela

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Ok, danke für deine Antwort.

Zuerst habe ich den cos in meiner Folge näher betrachtet: $\begin{eqnarray*} \cos(n\pi ) = \begin{cases} -1, & \text{wenn }n\text{ ungerade,}\\ 1, & \text{wenn }n\text{ gerade.} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann lässt sich die Teilfolge $\begin{eqnarray*} a_{2n-1} \end{eqnarray*}$ so schreiben:
$\begin{eqnarray*} a_{2n-1} = \frac{1}{2n-1} -1 \end{eqnarray*}$

Nach folgendem Satz
Die Summenfolge konvergenter Folgen ist konvergent.
gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n-1} \xrightarrow[n \rightarrow \infty ]{} 0 <br /> -1 \xrightarrow[n \rightarrow \infty ]{} -1 \end{eqnarray*}$

und somit insgesamt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n-1} -1 \xrightarrow[n \rightarrow \infty ]{} 0-1=-1 \end{eqnarray*}$

Das wäre der Beweis für die Konvergenz der ersten Teilfolge. Ist das besser?

Edit: Analog kann man für die zweite Teilfolge vorgehen und kommt auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} +1 \xrightarrow[n \rightarrow \infty ]{} 0+1=1 \end{eqnarray*}$

LG

01.12.2013, 23:22

EinGast

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Zitat:

Original von Dani_ela
Dann lässt sich die Teilfolge $\begin{eqnarray*} a_{2n-1} \end{eqnarray*}$ so schreiben:
$\begin{eqnarray*} a_{2n-1} = \frac{1}{n} -1 \end{eqnarray*}$

hier musst du rechts auch 2n-1 einsetzen, also
$\begin{eqnarray*} a_{2n-1} = \frac{1}{2n-1} -1 \end{eqnarray*}$

aber sonst ist deine Überlegung richtig.

01.12.2013, 23:28

Dani_ela

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Ja, ich habs bemerkt und editiert (bevor ich deinen Beitrag gelesen hatte)

Gut, jetzt hab ich die Häufungspunkte -1 und 1.
Aber wie komm ich jetzt auf das Supremum, Infimum, lim sup und lim inf?

LG

01.12.2013, 23:38

EinGast

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$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray*}$ ist der .... Häufungpunkt der Folge (analog für Liminf)

und für Supremum/Infimum der Folge: die Teilfolgen $\begin{eqnarray*} (a_{2n}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_{2n-1}) \end{eqnarray*}$ sind beide monoton fallend

06.12.2013, 10:59

Dani_ela

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$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray*}$ ist der größte Häufungspunkt, dh. $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}a_n = 1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray*}$ ist der kleinste Häufungspunkt, dh. $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty}a_n = -1 \end{eqnarray*}$

Ok, das ist mir nun kar.

Aber bei sup und inf steig ich noch nicht durch...

Das Supremum ist 3/2 und das Infimum weiß ich nicht... wie beweise ich die beiden?

Ich wäre für Tips dankbar.

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