Wurzel

01.12.2013, 23:50

-ABC-

Partielles Ableiten --> Produkt/Wurzel

Ahoi,

in Kürze beschäftigen wir uns an der Uni mit partiellen Ableitungen. Aus diesem Grund wollte ich mich schon einmal ein wenig vorbereiten.

Folgende Funktion soll partiell abgeleitet werden: $\begin{eqnarray*} g(x,y)=(ex^2-y)*\sqrt{x*y}+b*x*y \end{eqnarray*}$

Da es sich um ein Produkt handelt wende ich die Produktregel an ( $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}=u'*v+u*v' \end{eqnarray*}$ ) und bestimme die einzelnen Elemente:

Ableitung nach x:

$\begin{eqnarray*} u=ex^2-y \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} u'=2ex \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=(x*y)^\frac{1}{2}+b*x*y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=2*(x*y)^\frac{-1}{2}*y+b*y=\frac{1}{2*\sqrt{x*y} }*y+b*x \end{eqnarray*}$ <-- Anwendung der Kettenregel

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} g(x,y)=(2ex)*((x*y)^\frac{1}{2}+b*x*y)+(ex^2-y)*\frac{1}{2*\sqrt{x*y} }*y+b*x \end{eqnarray*}$

Nun bin ich mir aber bereits hier, aufgrund der großen Anzahl an Elementen (und aufgrund der Uhrzeit *g*) unsicher, ob das bisher von mir gerechnete so korrekt ist.

Vielen Dank für Feedback!

MfG
-ABC-

02.12.2013, 00:19

jimmyt

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hi,

du brauchst Produktregel und Summenregel.

$\begin{eqnarray*} g(x,y) ~=~ (ex^2-y) \cdot \sqrt{x \cdot y}+b \cdot x \cdot y ~=~ \underbrace{\underbrace{(ex^2-y) \cdot \sqrt{y} \cdot \sqrt{x} }_{\text{Produktregel}} + \underbrace{b \cdot y \cdot x}_{\text{Potenzregel}}}_{\text{Summenregel}} \end{eqnarray*}$

02.12.2013, 00:41

-ABC-

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Danke für deine schnelle Antwort, jimmyt!

Da scheine ich ja bei meinen anfänglichen Berechnungen eine ziemlich falsche Abzweigung genommen zu haben. :\

Die Produktregel scheint nach deiner Darstellung drei Faktoren zu haben - kann das sein?

Müsste ich entsprechend u und v durch etwa ein w ergänzen?

02.12.2013, 00:48

jimmyt

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Nein, 2 Faktoren (rot und blau markiert): smile

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\underbrace{ \textcolor{red}{(ex^2-y)} \cdot \textcolor{blue}{(\sqrt{y} \cdot \sqrt{x})} }_{\text{Produktregel}} + \underbrace{b \cdot y \cdot x}_{\text{Potenzregel}}}_{\text{Summenregel}} \end{eqnarray*}$

24.01.2014, 17:37

-ABC-

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Danke für deine Hilfe, jimmyt!
Leider hat meine Antwort etwas auf sich warten lassen... .

Folgende Ergebnisse habe ich für die Ableitungen der Produktregel:

$\begin{eqnarray*} u=e*x^2-y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=2*e*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=\sqrt{x*y}=(x*y)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=\frac{1}{2}*(x*y)^\frac{-1}{2}*y \end{eqnarray*}$

Als schlussendliche Ableitung (nach x) komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} =2*e*x*\sqrt{x*y}+\frac{e*x^2*y-y^2}{2*\sqrt{x*y} }+b*y \end{eqnarray*}$

Nun zeigt mir die mir vorliegende Lösung aber folgendes:

$\begin{eqnarray*} =\frac{5*e*x^2*y-y^2}{2*\sqrt{x*y} }+b*y \end{eqnarray*}$

Habe ich mich verrechnet oder könnte man mein Ergebnis noch weiter zusammenfassen? Was es auch ist, mir erschließt sich gegenwärtig nicht, was ich noch tun könnte.

05.02.2014, 11:01

-ABC-

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Ich hole das Thema wieder hoch, da es nach wie vor aktuell ist.

05.02.2014, 11:51

Steffen Bühler

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Die beiden Lösungen sind identisch.

$\begin{eqnarray*} 2ex \sqrt{xy} \cdot \frac{2 \sqrt{xy} }{2 \sqrt{xy} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {2ex \sqrt{xy} \cdot 2 \sqrt{xy} }{2 \sqrt{xy} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ... \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

05.02.2014, 13:09

-ABC-

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Die beiden Lösungen sind identisch.

$\begin{eqnarray*} 2ex \sqrt{xy} \cdot \frac{2 \sqrt{xy} }{2 \sqrt{xy} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {2ex \sqrt{xy} \cdot 2 \sqrt{xy} }{2 \sqrt{xy} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ... \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

Vielen Dank für deine Antwort, Steffen Bühler!
Das mein Ergebnis soweit richtig ist beruhigt mich schon Mal ein wenig. Dennoch scheine ich gegenwärtig ein Brett vorm Kopf zu haben.

Leider erschließt sich mir der von dir geschilderte Sachverhalt noch nicht. Wie kommt dein Zähler bei $\begin{eqnarray*} 2ex \sqrt{xy} \cdot \frac{2 \sqrt{xy} }{2 \sqrt{xy} } \end{eqnarray*}$ zustande?

Des Weiteren habe ich mich noch einmal bemüht, den Rechenausdruck zusammenzufassen... . ... ohne Erfolg. Irgendwo muss ich ein Verständnisproblem haben. Bspw. erhalte ich nie die im Zähler vor dem $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ geforderte 5, sondern allenfalls eine 3.

Im Folgenden habe ich meinen weiteren Weg noch einmal dargestellt:

$\begin{eqnarray*} =2*e*x*\sqrt{x*y}+\frac{e*x^2*y-y^2}{2*\sqrt{x*y} }+b*y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2*e*x^{\frac{1}{1} } *x^\frac{1}{2}*y^\frac{1}{2} +\frac{e*x^\frac{2}{1} *y^\frac{1}{1} -y^2}{2*\sqrt{x*y} }+b*y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2*e*x^{\frac{2}{2} } *x^\frac{1}{2}*y^\frac{1}{2} +\frac{e*x^\frac{2}{1} *y^\frac{1}{1} -y^2}{2*\sqrt{x*y} }+b*y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2*e*x^{\frac{3}{2} } *y^\frac{1}{2} +\frac{e*x^\frac{4}{2} *y^\frac{2}{2} -y^2}{2*\sqrt{x*y} }+b*y \end{eqnarray*}$

Und spätestens ab diesem Schritt wird es dann wohl irgendwie blödsinnig und hat nichts mehr mit dem o. g. Ergebnis gemein:

$\begin{eqnarray*} =\frac{3*e*x^{\frac{7}{2} } *y^\frac{3}{2}-y^2}{2*\sqrt{x*y} }+b*y \end{eqnarray*}$

Ich steh auf dem Schlauch... . unglücklich

05.02.2014, 13:19

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von -ABC-
Wie kommt dein Zähler bei $\begin{eqnarray*} 2ex \sqrt{xy} \cdot \frac{2 \sqrt{xy} }{2 \sqrt{xy} } \end{eqnarray*}$ zustande?

Da hab ich einfach mit $\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{xy} \end{eqnarray*}$ erweitert, um denselben Nenner wie im nächsten Bruch zu erhalten.

Wie's weitergeht:

$\begin{eqnarray*} \frac {2ex \sqrt{xy} \cdot 2 \sqrt{xy} }{2 \sqrt{xy} } + \frac{ex^2y-y^2}{2 \sqrt{xy} }+by \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {2ex \sqrt{xy} \cdot 2 \sqrt{xy} + ex^2y-y^2}{2 \sqrt{xy} }+by \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {4ex \cdot xy + ex^2y-y^2}{2 \sqrt{xy} }+by \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {4ex^2y + ex^2y-y^2}{2 \sqrt{xy} }+by \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ... \end{eqnarray*}$

Jetzt?

05.02.2014, 13:45

-ABC-

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von -ABC-
Wie kommt dein Zähler bei $\begin{eqnarray*} 2ex \sqrt{xy} \cdot \frac{2 \sqrt{xy} }{2 \sqrt{xy} } \end{eqnarray*}$ zustande?

Damit hast du einen "Aha-Effekt" bei mir erzeugt!

Erweitert habe ich ja auch die gebrochenen Exponenten... nur war das an dieser Stelle nicht korrekt. Daran, dass man in dieser (solchen) Situation(en) logischerweise auch den Bruch mit einem etwas komplexeren Ausdruck erweitern kann, habe ich natürlich nicht gedacht... .

Der letzte Schritt müsste sich somit $\begin{eqnarray*} 4ex^2y + ex^2y \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 5ex^2y \end{eqnarray*}$ zusammenfassen lassen, da ja zwei (bis auf die 4) gleiche Ausdrücke addiert werden.
Somit müsste das schlussendliche Ergebnis wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac {5ex^2y-y^2}{2 \sqrt{xy} }+by \end{eqnarray*}$

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Gerade in Mathe kommt mir dies ab und an so vor. Und das, obwohl (so auch jetzt) alles logisch ist.

Vielen Dank für deine Hilfe, Steffen Bühler!

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