Orthogonale Abbildung als Produkt von orthogonalen Spiegelungen schreiben

02.12.2013, 13:33	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Abbildung als Produkt von orthogonalen Spiegelungen schreiben Moin, ich habe folgende Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich anfangen soll. Es geht darum, dass ich eine orthogonale Abbildung habe und diese zerlegen soll in ein Produkt aus orthogonalen Spiegelungen. Wir haben bewiesen, dass das möglich ist. Ich weiß sogar, dass maximal so viele Spiegelungen benötigt werden, wie die Dimension des Raumes groß ist. Den Beweis habe ich auch soweit verstanden, ich kann das Wissen nur nicht anwenden. Konkrete Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \alpha:\mathbb R ^2\rightarrow \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} \alpha((x,y)) = \frac{1}{5}(3x-4y, 4x+3y) \end{eqnarray}$ Ich habe ein wenig die Hoffnung, dass es da ein "Kochrezept" gibt, nach dem man die Spiegelachsen / Ebenen findet und die Spiegelungen aufstellen kann. Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand helfen würde, auch wenn meine eigenen Ansätze nicht wirklich vorhanden sind. Gruß Martin
03.12.2013, 11:45	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelt man einen Originalvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} R \cdot \cos(\phi) \\ R \cdot \sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ an einer Geraden durch den Nullpunkt mit der Einheitsrichtung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , so erhält man den gespiegelten Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}R \cdot \cos(2\alpha-\phi) \\ R \cdot \sin(2\alpha-\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . (Mach' dir das anhand einer Skizze anschaulich klar!) Spiegelt man dieses Ergebnis an einer zweiten Geraden mit der Einheitsrichtung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\beta) \\ \sin(\beta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , so erhält man nach dem gleichen Prinzip den doppelt gespiegelten Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} R \cdot \cos(2\beta-2\alpha+\phi) \\ R \cdot \sin(2\beta-2\alpha+\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Mit den Additionstheoremen schreiben wir dies in Matrixform als Drehung. $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix}\cos(2\beta-2\alpha)&-\sin(2\beta-2\alpha)\\ \sin(2\beta-2 \alpha)&\cos(2\beta-2\alpha)\end{pmatrix}}_{\text{Drehmatrix}}\underbrace{\begin{pmatrix}R \cdot \cos(\phi)\\ R \cdot \sin(\phi)\end{pmatrix}}_{\text{Originalvektor}} \end{eqnarray}$ Mit anderen Worten: Zwei Spiegelungen sind trivialerweise immer als eine einzige Drehung darstellbar. (Das gilt natürlich für eine beliebige Anzahl von Spiegelungen.) In deiner Aufgabe ist aber umgekehrt die Drehmatrix $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3&-4\\4&3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben, und die beiden Winkel $\begin{eqnarray} \alpha , \beta \end{eqnarray}$ der Spiegelgeraden sind gesucht. Vergleich der Matrixelemente führt auf das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \tfrac{3}{5}=\cos(2\beta-2\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{4}{5}=\sin(2\beta-2\alpha) \end{eqnarray}$ Löse dies nach $\begin{eqnarray} \alpha , \beta \end{eqnarray}$ auf und du hast die gesuchten Spiegelrichtungen.
03.12.2013, 15:27	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt kompliziert. Ich werde trotzdem mal versuchen durchzusteigen. Heute in der Übung haben wir allerdings einen anderen Lösungsweg gewählt, den ich natürlich nicht vorenthalten möchte. Dieser beruht allerdings auf einer Aussage, die ich noch nicht zu 100% nachvollziehen kann. Ich weiß auch nicht, unter welchen Bedingungen die Aussage gilt (vielleicht nur im R^2). Folgendes ist die Aussage: Man kann bei zwei benötigten Spiegelungen die erste einfach frei wählen und sich dann eine zweite leicht dazu basteln. Beispiel an der konkreten Aufgabe: Die Abbildung lässt sich darstellen durch eine Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis des R^2 durch: $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt wählt man sich die einfachste Spiegelung die einem einfällt: $\begin{eqnarray} S_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man weiß jetzt, dass noch eine Spiegelung fehlt und dass folgendes gelten muss: $\begin{eqnarray} S_1 \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = M \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man sieht die Werte für a,b,c,d direkt und erhält als zweite Spiegelung: $\begin{eqnarray} S_2=\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man sieht, dass $\begin{eqnarray} S_1 * S_2 = M \end{eqnarray*}$ gilt. So hat man auch zwei Spiegelungen gefunden. Kann jemand etwas zur allgemeingültigkeit sagen? Wie ist es in R^3, R^4, R^n? Mir kommt das zumindest im R^2 durchaus logisch vor aber naja, das reicht ja in den meisten Fällen nicht. Gruß Martin
04.12.2013, 10:48	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat sind die beiden Spiegelungen nicht eindeutig. Deine willkürliche Wahl der ersten Spiegelung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&\\&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ entspricht einer Spiegung an der x-Achse. In meiner Rechnung würde dies bedeutet, dass die zweite Spiegelgerade den Winkel $\begin{eqnarray} \beta =0° \end{eqnarray}$ besitzt, wonach der erste Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ festgelegt ist. Im n-dimensionalen Raum suchst du n hintereinander ausgeführte Spieglungen an jeweils einem (n-1)-dimensionalen Unterraum, welche insgesamt einer gegebenen Drehung äquivalent sind. Da ein in (n-1)-dimensionaler Unterraum durch sein orthogonale Komplement festgelegt ist (also einen Vektor), sucht man also n Vektoren. Diese hängen eng mit den Eigenvektoren der Drehung zusammen. Auf Einzelheiten kann ich hier der Kürze wegen nicht eingehen.

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